Measured Quantum Groupoids in action
[Actions d’un groupoïde quantique mesuré]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 114 (2008) , 160 p.

Frank Lesieur a introduit dans sa thèse (maintenant publiée dans une version révisée et complétée dans les Mémoires de la SMF (2007)) une notion de groupoïde quantique mesuré, dans le cadre des algèbres de von Neumann, et une simplification des axiomes de Lesieur est placée en appendice de cet article. Nous développons ici les notions d’action d’un groupoïde quantique mesuré, de produit-croisé et un théorème de bidualité est démontré, en s’inspirant largement de ce qui a été fait par Stefaan Vaes pour les groupes quantiques localement compacts. Ainsi, nous prouvons que l’inclusion de l’algèbre initiale dans son produit croisé est de profondeur 2, ce qui fournit une réciproque à un résultat démontré par Jean-Michel Vallin et l’auteur. De plus, à toute action d’un groupoïde quantique mesuré, on associe un autre groupoïde quantique mesuré ; ainsi, en particulier, on construit un groupoïde quantique mesuré associé canoniquement à toute action d’un groupe quantique localement compact ; quand cette action est extérieure, ce groupoïde quantique mesuré est le groupe quantique initial.

Franck Lesieur had introduced in his thesis (now published in an expended and revised version in the Mémoires de la SMF (2007)) a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras and a simplification of Lesieur’s axioms is presented in an appendix of this article. We here develop the notions of actions, crossed-product, and obtain a biduality theorem, following what had been done by Stefaan Vaes for locally compact quantum groups. Moreover, we prove that the inclusion of the initial algebra into its crossed-product is depth 2, which gives a converse of a result proved by Jean-Michel Vallin and the author. More precisely, to any action of a measured quantum groupoid, we associate another measured quantum groupoid. In particular, starting from an action of a locally compact quantum group, we obtain a measured quantum groupoid canonically associated to this action; when the action is outer, this measured quantum groupoid is the initial locally compact quantum group.

DOI : 10.24033/msmf.426
Classification : 46L55, 46L89
Keywords: measured quantum groupoids, actions, crossed-product, biduality theorem, depth 2 inclusions
Mot clés : groupoïdes quantiques mesurés, actions, produits croisés, bidualité, inclusion de profondeur 2 
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Enock, Michel. Measured Quantum Groupoids in action. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 114 (2008), 160 p. doi : 10.24033/msmf.426. http://numdam.org/item/MSMF_2008_2_114__1_0/

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