Albanese and Picard 1-motives
[1-motifs d’Albanese et de Picard]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 87 (2001) , 110 p.

Soit X une variété algébrique de dimension n sur un corps de caractéristique 0. Nous décrivons les 1-motifs de Deligne Alb + (X), Alb - (X), Pic + (X) et Pic - (X) définis algébriquement, qui généralisent les variétés d’Albanese et de Picard classiques d’une variété projective lisse. Nous calculons les réalisations de Hodge, -adique et de De Rham, montrant ainsi la conjecture de Deligne pour H 2n-1 , H 2n-1 , H 1 et H 1 . Nous étudions la fonctorialité, l’universalité, l’invariance par homotopie et l’invariance par formation de fibrés projectifs. Nous comparons nos 1-motifs homologiques et cohomologiques pour les schémas normaux. Pour des schémas propres, nous obtenons une application d’Abel-Jacobi du groupe de (Levine-Weibel) Chow des zéro-cycles vers notre 1-motif cohomologique d’Albanese, qui est l’homomorphisme universel régulier vers les variétés semi-abéliennes. En utilisant cette propriété universelle, nous obtenons des applications de Gysin « motiviques » pour les morphismes projectifs localement intersection complète.

Let X be an n-dimensional algebraic variety over a field of characteristic zero. We describe algebraically defined Deligne 1-motives Alb + (X), Alb - (X), Pic + (X) and Pic - (X) which generalize the classical Albanese and Picard varieties of a smooth projective variety. We compute Hodge, -adic and De Rham realizations proving Deligne’s conjecture for H 2n-1 , H 2n-1 , H 1 and H 1 . We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological 1-motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese 1-motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get “motivic” Gysin maps for projective local complete intersection morphisms.

DOI : 10.24033/msmf.400
Classification : 14F42, 14C30, 32S35, 19E15
Keywords: Hodge theory, motives, algebraic cycles, singularities
Mot clés : Théorie de Hodge, motifs, cycles algébriques, singularités
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Barbieri-Viale, Luca; Srinivas, Vasudevan. Albanese and Picard $1$-motives. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 87 (2001), 110 p. doi : 10.24033/msmf.400. http://numdam.org/item/MSMF_2001_2_87__1_0/

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