Very recently, the generating function of the Stern sequence , defined by and for any integer , has been considered from the arithmetical point of view. Coons [8] proved the transcendence of for every algebraic with , and this result was generalized in [6] to the effect that, for the same ’s, all numbers are algebraically independent. At about the same time, Bacher [4] studied the twisted version of Stern’s sequence, defined by and for any .
The aim of our paper is to show the analogs on the generating function of of the above-mentioned arithmetical results on , to prove the algebraic independence of over the field , to use this fact to conclude that, for any complex with , the transcendence degree of the field over is at least 2, and to provide rather good upper bounds for the irrationality exponent of and for integers with and sufficiently small .
Très récemment, la fonction génératrice de la suite de Stern, définie par et pour tout entier , a été considérée du point de vue arithmétique. Coons [8] a montré la transcendance de pour tout algébrique avec , et ce résultat fut généralisé dans [6] de sorte que, pour les mêmes , les nombres sont algébriquement indépendants. À peu près au même temps, Bacher [4] a étudié la version tordue de la suite de Stern, définie par et pour tout .
Les objectifs principaux du présent travail sont d’établir les analogues sur la fonction génératrice de des résultats arithmétiques mentionnés plus haut concernant , de démontrer l’indépendance algébrique de sur le corps , d’utiliser ce fait pour en déduire que, pour tout nombre complexe avec , le degré de transcendance du corps sur est au moins 2, et de fournir des majorations assez bonnes pour l’exposant d’irrationalité de et de , où sont des entiers avec et suffisamment petit.
@article{JTNB_2013__25_1_43_0, author = {Bundschuh, Peter and V\"a\"an\"anen, Keijo}, title = {Algebraic independence of the generating functions of {Stern{\textquoteright}s} sequence and of its twist}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {43--57}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {25}, number = {1}, year = {2013}, doi = {10.5802/jtnb.824}, zbl = {1268.11096}, mrnumber = {3063829}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/} }
TY - JOUR AU - Bundschuh, Peter AU - Väänänen, Keijo TI - Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2013 SP - 43 EP - 57 VL - 25 IS - 1 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/ DO - 10.5802/jtnb.824 LA - en ID - JTNB_2013__25_1_43_0 ER -
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Bundschuh, Peter; Väänänen, Keijo. Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 25 (2013) no. 1, pp. 43-57. doi : 10.5802/jtnb.824. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/
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