A propos de la relation galoisienne $x_1=x_2+x_3$

Lalande, Franck

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 661-673.

L’existence d’un polynôme $f$, irréductible sur un corps $k$ de caractéristique $0$ et dont trois racines vérifient la relation linéaire $x_1=x_2+x_3$, ne dépend que de la paire de groupes finis $(G,H)$ où $G={\mathrm{Gal}}_k\left(f\right)$ et $H\subset G$ est le fixateur d’une racine. Le cas régulier ($H=1$) est désormais assez bien décrit. On démontre dans ce texte que pour de nombreuses paires $(G,H)$ primitives ($H$ sous-groupe maximal de $G$) et en particulier pour toutes celles de degré $\le 50$, la relation $x_1=x_2+x_3$ n’est pas réalisable.

En appendice, Joseph Oesterlé démontre que cette relation linéaire est réalisable pour la paire $(G,1)$ dès que $6$ divise l’ordre de $G$.

About the Galois relation $x_1=x_2+x_3$

Let $k$ be a field of characteristic $0$. The existence of an irreducible polynomial $f$ over $k$ whose roots satisfy the linear relation $x_1=x_2+x_3$ exclusively depends on the pair $(G,H)$ where $G={\mathrm{Gal}}_k\left(f\right)$ and $H\subset G$ is the stabilizer of one root. The regular case ($H=1$) is now well understood. In the present paper, we consider the primitive case ($H$ maximal subgroup of $G$) and show that we can’t find this linear relation when the pair $(G,H)$ is primitive of a degree $\le 50$.

An appendix of Joseph Oesterlé shows that we can find this relation for any pair $(G,1)$ in which $6$ divides the order of $G$.

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