La relation linéaire a=b+c++t entre les racines d’un polynôme
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 2, pp. 473-484.

Nous nous intéressons à la question suivante : À quelles conditions un groupe G est-il le groupe de Galois (principalement sur le corps des rationnels) d’un polynôme irréductible dont certaines racines distinctes vérifient une relation linéaire du type a=b+c++t ? Nous montrons que la relation a=b+c est possible dès que G contient un sous-groupe d’ordre 6, nous décrivons les groupes abéliens pour lesquels la relation a=b+c+d est satisfaite et construisons une famille de relations a=b+c++t de longueur 1+(m-2)(m-3)/2 pour le groupe alterné A m . Chaque partie est accompagnée d’exemples.

We are going to deal with the following question: Which groups can be the Galois group of an irreducible polynomial with rational coefficients whose distinct roots satisfy a linear relation a=b+c++t? We are going to show that the relation a=b+c is possible when G contains a subgroup of order 6, describe the abelian groups for which the relation a=b+c+d is possible and construct a family of relations a=b+c++t of length 1+(m-2)(m-3)/2 for the alternating group A m .

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TY  - JOUR
AU  - Lalande, Franck
TI  - La relation linéaire $a=b+c+\cdots +t$ entre les racines d’un polynôme
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2007
DA  - 2007///
SP  - 473
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PB  - Université Bordeaux 1
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Lalande, Franck. La relation linéaire $a=b+c+\cdots +t$ entre les racines d’un polynôme. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 2, pp. 473-484. doi : 10.5802/jtnb.597. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.597/

[1] J. D. Dixon, Polynomials with relations between their roots. Acta Arithmetica 82.3 (1997), 293–302. | MR 1482892 | Zbl 0881.12001

[2] J. D. Dixon and B. Mortimer, Permutation Groups. Springer, New York, 1996. | MR 1409812 | Zbl 0951.20001

[3] M. Drmota and M. Skalba, Relations between polynomial roots. Acta Arithmetica 71.1 (1995), 65-77. | MR 1338672 | Zbl 0818.11038

[4] K. Girstmair, Linear dependence of zeros of polynomials and construction of primitive elements. Manuscripta Math. 39 (1982), 81–97. | MR 672402 | Zbl 0514.12010

[5] K. Girstmair, Linear relations between roots of polynomials. Acta Arithmetica 89.1 (1999), 53–96. | MR 1692195 | Zbl 0924.12002

[6] K. Girstmair, The Galois relation x 1 =x 2 +x 3 and Fermat over finite fields. Acta Arithmetica 124.4 (2006), 357–370. | MR 2271249

[7] D. G. Higman, Finite permutation groups of rank 3. Math. Zeitschr. 86 (1964), 145–156. | MR 186724 | Zbl 0122.03205

[8] D. G. Higman, Primitive rank 3 groups with a prime subdegree. Math. Zeitschr. 91 (1966), 70–86. | MR 218440 | Zbl 0136.01402

[9] F. Lalande, Relations linéaires entre les racines d’un polynôme et anneaux de Schur. Ann. Sci. Math. Québec 27.2 (2003), 169–175. | Zbl 1078.12003

[10] H. B. Mann, On linear relations between roots of unity. Mathematika 12 (1965), 107–117. | MR 191892 | Zbl 0138.03102

Cité par Sources :