Odd perfect polynomials over <span class="mathjax-formula">${\mathbb{F}_2}$</span>

Gallardo, Luis H.; Rahavandrainy, Olivier

doi:10.5802/jtnb.579

Odd perfect polynomials over

𝔽_{2}

Gallardo, Luis H. ; Rahavandrainy, Olivier

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 165-174.

Résumé
Abstract

Un polynôme $A \in 𝔽_{2} [x]$ est dit parfait s’il est égal à la somme de tous ses diviseurs et il est dit impair s’il n’a pas de facteurs de degré $1 .$ Il n’y a pas de polynômes parfaits impairs ayant $3$ facteurs irréductibles. Il n’y a pas non plus de polynômes parfaits impairs ayant au plus $9$ facteurs irréductibles dans le cas où tous les exposants sont égaux à $2 .$

A perfect polynomial over $𝔽_{2}$ is a polynomial $A \in 𝔽_{2} [x]$ that equals the sum of all its divisors. If $gcd (A, x^{2} + x) = 1$ then we say that $A$ is odd. In this paper we show the non-existence of odd perfect polynomials with either three prime divisors or with at most nine prime divisors provided that all exponents are equal to $2 .$

MR 2332059 | Zbl 1145.11081

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.579

BibTeX
RIS

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TY  - JOUR
AU  - Gallardo, Luis H.
AU  - Rahavandrainy, Olivier
TI  - Odd perfect polynomials over ${\mathbb{F}_2}$
JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2007
DA  - 2007///
SP  - 165
EP  - 174
VL  - 19
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux 1
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LA  - en
ID  - JTNB_2007__19_1_165_0
ER  -

Gallardo, Luis H.; Rahavandrainy, Olivier. Odd perfect polynomials over ${\mathbb{F}_2}$. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 1, pp. 165-174. doi : 10.5802/jtnb.579. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.579/

Bibliographie
Cité par

[1] E. F. Canaday, The sum of the divisors of a polynomial. Duke Math. J. 8 (1941), 721–737. | MR 5509 | Zbl 0061.06605

[2] T. B. Beard Jr, James. R. Oconnell Jr, Karen I. West, Perfect polynomials over $G F (q)$ . Rend. Accad. Lincei 62 (1977), 283–291. | MR 497649 | Zbl 0404.12014

[3] L. Gallardo, O. Rahavandrainy, On perfect polynomials over $𝔽_{4}$ . Portugaliae Mathematica 62 - Fasc. 1 (2005), 109–122. | MR 2126875 | Zbl 02173976

[4] L. Gallardo, O. Rahavandrainy, Perfect polynomials over $𝔽_{4}$ with less than five prime factors. Portugaliae Mathematica 64 - Fasc. 1 (2007), 21–38. | MR 2298110

[5] Rudolf Lidl, Harald Niederreiter, Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its applications. Cambridge University Press, 1983, (Reprinted 1987). | MR 746963 | Zbl 0866.11069

[6] Rudolf Steuerwald, Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl. S. B. math.-nat. Abt. Bayer. Akad. Wiss München (1937), 69–72. | Zbl 0018.20301

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