Partitions sans petites parts

On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$. En partant de l’estimation asymptotique de $r(n,m)$ exprimée à l’aide d’un paramètre $\sigma$ défini implicitement en fonction de $n$ et $m$, nous éliminons ce paramètre en utilisant la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin, pour obtenir un développement asymptotique de $r(n,m)$ valable pour $n\to +\infty$, et $1\le m\le \Gamma \sqrt{n}$, $\Gamma$ étant un réel quelconque.

Let $r(n,m)$ denote the number of partitions of $n$ into parts, each of which is at least $m$. Starting from the asymptotic estimate of $r(n,m)$ which use a parameter $\sigma$ implicitely defined in terms of $m$ and $n$, we eliminate this parameter by using the Euler-Maclaurin formula, and obtain an asymptotics for $r(n,m)$ in terms of $m$ and $n$ only, which holds for $n\to +\infty$, and $1\le m\le \Gamma \sqrt{n}$, where $\Gamma$ is a given real.

[1] J. Dixmier, J.L. Nicolas, Partitions sans petits sommants. A tribute to Paul Erdős, 121–152. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. | MR 1117009 | Zbl 0719.11067

[2] J. Dixmier, J.L. Nicolas, Partitions without small parts. Number theory, Vol. I (Budapest, 1987), 9–33, North-Holland, Amsterdam, 1990. | MR 1058207 | Zbl 0707.11072

[3] G. Freiman, J. Pitman, Partitions into distinct large parts. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 57(3) (1994), 386–416. | MR 1297011 | Zbl 0824.11064

[4] G. H. Hardy, S. Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis. J. London Math. Society 17 (1918), 75–115.

[5] G. H. Hardy, Divergent series. Oxford, at the Clarendon Press, 1949. | MR 30620 | Zbl 0032.05801

[6] J. Herzog, Gleichmässige asymptotische Formeln für parameterabhängige Partitionfunktionen. Thèse de l’Université J. F. Goethe, Frankfurt am Main, mars 1987. | Zbl 0622.10034

[7] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming vol. 2. Addison Wesley, $2^{\text{nd}}$ edition, 1981. | MR 633878 | Zbl 0477.65002

[8] E. Mosaki, Thèse de l’Université Lyon 1 (en préparation).

[9] J.-L. Nicolas, A. Sárközy, On partitions without small parts. J. de Théorie des Nombres de Bordeaux 12 (2000), 227–254. | Numdam | MR 1827850 | Zbl 1005.11049

[10] G. Szekeres, An asymptotic formula in the theory of partitions. Quart. J. Math., Oxford 2 (1951), 85–108. | MR 43129 | Zbl 0042.04102

[11] G. Szekeres, Some asymptotic formulae in the theory of partitions. II. Quart. J. Math., Oxford 4 (1953), 96–111. | MR 57279 | Zbl 0050.04101