Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 2, p. 479-534
Ce texte donne une nouvelle présentation, et une généralisation, des groupes qui apparaissent dans les travaux de Rhin-Viola ([8], [9]) sur les mesures d’irrationalité de ζ(2) et ζ(3). D’une part, on interprète ces groupes comme des groupes d’automorphismes, ce qui permet de déduire chacune des relations entre intégrales utilisées par Rhin-Viola d’un changement de variables. D’autre part, on considère plusieurs familles d’intégrales n-uples, et on montre que chacune d’elles est munie d’une action de groupe comme dans les travaux de Rhin-Viola. De plus, les valeurs de ces intégrales sont (conjecturalement, pour certaines) des formes linéaires, sur le corps des rationnels, en les polyzêtas de poids au plus n. Ces familles englobent beaucoup d’intégrales qui sont apparues dans l’étude des valeurs de ζ aux entiers. On exhibe un changement de variables entre deux de ces familles, qui permet de relier les approches de Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev d’une part, Sorokin et Rivoal d’autre part.
This paper gives a new presentation, and a generalization, of the group structures in Rhin-Viola’s work ([8], [9]) on irrationality measures of ζ(2) and ζ(3). On the one hand, these groups are seen as automorphism groups, which makes it possible to prove all relations between Rhin-Viola integrals using changes of variables. On the other hand, several families of n-dimensional integrals are considered, and each of them is shown to be equipped with a group action in the same fashion as in Rhin-Viola’s work. Moreover, the values of these integrals are (sometimes conjecturally) linear forms, over the rationals, in multiple zeta values of weight at most n. Among these families lie many integrals that have appeared in the study of the values of ζ at integer points. A change of variables is given between two of these families, which connects the approach of Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev to that of Sorokin and Rivoal.
@article{JTNB_2003__15_2_479_0,
     author = {Fischler, St\'ephane},
     title = {Groupes de Rhin-Viola et int\'egrales multiples},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {15},
     number = {2},
     year = {2003},
     pages = {479-534},
     zbl = {1074.11040},
     mrnumber = {2140865},
     language = {fr},
     url = {http://http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_2_479_0}
}
Fischler, Stéphane. Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 2, pp. 479-534. http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_2_479_0/

[1] K.M. Ball, T. Rivoal, Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux ientiers impairs. Invent. Math. 146 (2001), 193-207. | MR 1859021 | Zbl 1058.11051

[2] F. Beukers, A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11 (1979),268-272. | Zbl 0421.10023

[3] N. Brisebarre, Irrationality measures of log(2) and π/√3. Experiment. Math. 10 (2001), 35-51. | Zbl 0982.11040

[4] H. Cartan, Formes différentielles. Hermann, 1967. | MR 231303 | Zbl 0184.12701

[5] A.C. Dixon, On a certain double integral, Proc. London Math. Soc. (2) 2 (1905), 8-15. | JFM 35.0320.01

[6] S. Fischler, Formes linéaires en polyzêtas et intégrales multiples. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1335 (2002), 1-4. | MR 1920424 | Zbl 1017.11048

[7] M. Kontsevich, D. Zagier, Periods, in Mathematics Unlimited - 2001 and beyond. Springer (2001), 771-808. | MR 1852188 | Zbl 1039.11002

[8] G. Rhin, C. Viola, On a permutation group related to ζ(2). Acta Arith. 77 (1996), 23-56. | Zbl 0864.11037

[9] G. Rhin, C. Viola, The group structure for ζ(3). Acta Arith. 97 (2001), 269-293. | Zbl 1004.11042

[10] T. Rivoal, La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. C. R. Acad. Sci. Paris I Math. 331 (2000), 267-270. | MR 1787183 | Zbl 0973.11072

[11] V.N. Sorokin, A transcendence measure for π2. Mat. Sbornik [Sb. Math.] 187 (1996), 87-120 [1819-1852]. | Zbl 0876.11035

[12] V.N. Sorokin, Apéry's theorem. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. no. 3 [Moscow Univ. Math. Bull. 53] (1998), 48-53 [48-52]. | MR 1708549 | Zbl 1061.11501

[13] O.N. Vasilenko, Certain formulae for values of the Riemann zeta function at integral points, in Number theory and its applications. Proceedings of the science-theoretical conference, Tashkent (1990), p. 27 (en russe) .

[14] D.V. Vasilyev, Some formulas for Riemann zeta-function at integer points. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. no. 1 [Moscow Univ. Math. Bull. 51] (1996), 81-84 [41-43]. | MR 1489497 | Zbl 0908.33013

[15] D.V. Vasilyev, On small linear forms for the values of the Riemann zeta-function at odd integers (en russe). Doklady NAN Belarusi (Reports of the Belarus National Academy of Sciences) 45 (2001), 36-40. | MR 1983707 | Zbl 1178.11059

[16] M. Waldschmidt, Valeurs zêta multiples: une introduction. J. Théor. Nombres Bordeaux 12 (2000), 581-595. | Numdam | MR 1823204 | Zbl 0976.11037

[17] S.A. Zlobin, Integrals expressible as linear forms in generalized polylogarithms. Mat. Zametki [Math. Notes] 71 (2002), 782-787 [711-716]. | MR 1936201 | Zbl 1049.11077

[18] W. Zudilin, Arithmetic of linear forms involving odd zeta values, à paraître au J. Théor. Nombres Bordeaux. | Numdam | Zbl 02184645

[19] W. Zudilin, Well-poised hypergeometric service for diophantine problems of zeta values, dans ce volume du J. Théor. Nombres Bordeaux. | Numdam | Zbl 02184613