Corps de définition et points rationnels

Derome, Geoffroy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 45-55.

Soit $𝔒$ un objet algébrique (par exemple une courbe ou un revêtement) défini sur $\overline{\mathbb{Q}}$ et de corps des modules un corps de nombres $K$. Il est bien connu que $𝔒$ n’admet pas nécessairement de $K$-modèle. En utilisant deux résultats récents dus à P. Dèbes, J.-C. Douai et M. Emsalem nous donnerons un majorant pour le degré d’un corps de définition de $𝔒$ sur $K$. Dans une deuxième partie, nous donnerons des conditions suffisantes sur l’ordre de Aut($𝔒$) pour que $𝔒$ admette un $K$-modèle.

Let $𝔒$ be an algebraic object (e.g. a curve or a cover) defined over $\overline{\mathbb{Q}}$ and of field of moduli an algebraic number field $K$. It is well known that $𝔒$ does not necessarily admit a $K$-model. Using two recent results due to P. Dèbes, J.-C. Douai and M. Emsalem we shall give a bound from above for the degree of a field of definition of $𝔒$ over $K$. In the second part, we shall give a sufficient condition on the order of Aut($𝔒$) for $𝔒$ to have a $K$-model.

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