Séries formelles et produit de Hadamard
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 319-335.

Nous nous intéressons ici essentiellement à l’algèbre de Hadamard des séries formelles. Si des résultats importants ont été obtenus dans le cas d’une variable, il n’en est pas de même dans le cas de plusieurs variables. En effet, beaucoup de problèmes posés restent encore sans réponse. C’est le cas par exemple du problème du quotient de Hadamard, ou celui de la caractérisation des éléments de Hadamard inversibles, ou les diviseurs de zéro, ou encore le problème des multiplicateurs de certains sous-ensembles de l’algèbre des séries formelles. Dans une première partie de ce travail, nous rappelons les propriétés arithmétiques ou algébriques des séries formelles en une ou plusieurs variables sur un corps commutatif. Nous insistons sur les différents résultats liés aux propriétés de clôture pour le produit de Hadamard des sous-ensembles des séries reconnaissables, rationnelles, algébriques ou D-finies. Dans la seconde partie, nous présentons quelques résultats nouveaux liés au problème du quotient de Hadamard.

We are interested here in the properties of the Hadamard algebra of power series in one or many variables. Many problems like the Hadamard quotient or the determination of some particular elements (units, zero divisors, ... ) are still open in several variables. After a survey of some facts and examples as regards to the closure properties of the sets of recognized, rational, algebraic or D-finite series, we shall recall partial answers to the problem of Hadamard quotient and a characterization of the units of the algebra of recognized series.

Classification : 13032, 13J05, 11B99
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[AL] J.-P. Allouche, Note sur un article de Sharif et Woodcook, Sém. Théorie des Nombres, Bordeaux 1 (1989), 163-187. | Numdam | MR | Zbl

[BB] B. Benzaghou et J.-P. Bézivin, Propriétés algébriques de suites différentiellement finies, Bull. Soc. Math. France 120 (1992), 327-346. | Numdam | MR | Zbl

[BEN] B. Benzaghou, Algèbre de Hadamard, Bull. Soc. Math. France 98 (1970), 209-252. | Numdam | MR | Zbl

[BE1] J.-P. Bézivin, Sur les propriétés arithmétiques du produit de Hadamard, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Série 5, 11 (1990), 7-19. | Numdam | MR | Zbl

[BE2] J.-P. Bézivin, Indépendance linéaire des valeurs des solutions de certaines équations fonctionnelles II, Acta Arith. 55 (1990), 233-240. | MR | Zbl

[BE3] J.-P. Bézivin, Sur un théorème de Polya, J. Reine Angew. Math. 364 (1986), 60-68. | MR | Zbl

[CA] D.J. Cantor, On arithmetic properties of the Taylor series of rational functions, Canad. J. Math. 21 (1969), 378-382. | MR | Zbl

[CH] G. Christol, Diagonales de fractions rationnelles, Séminaire de Théorie des Nombres, (1986/87), 65-90. Progr. Math., 75, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1988. | MR | Zbl

[CMP] L. Cerlienco, M. Mignotte, F. Piras, Suites récurrentes linéaires: proriétés algébriques et arithmétiques, Enseign. Math. 33 (1987), 67-108. | MR | Zbl

[CP] L. Cerlienco et F. Piras, On the continuous dual of a polynomial bialgebra, Commun. Algebra 19 (1991), 2707-2727. | MR | Zbl

[FU] H. Furstenberg, Algebraic functions over finite fields, J. Algebra 7 (1967), 271-277. | MR | Zbl

[HA] G. Hansel, Une démonstration simple du théorème de Skolem-Mahler-Lech, Theoret. Comput. Sci. 43 (1986), 91-98. | MR | Zbl

[JU] R. Jungen, Sur les séries de Taylor n'ayant que des singularités algébricologarithmiques sur leur cercle de convergence, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 266-306. | JFM | MR | Zbl

[LI1] L. Lipshitz, The diagonal of a D-finite power series is D-finite, J. Algebra 113 (1988), 373-378. | MR | Zbl

[LI2] L. Lipshitz, D-finite power series, J. Algebra 122 (1989), 355-373. | MR | Zbl

[MI] M. Mignotte, Propriétés arithmétiques des suites récurrentes linéaires, Sém. Théorie des Nombres de Bordeaux, (1988/89), fasc. 1, 30 pages. | MR

[NE1] A. Necer, Quotient de Hadamard en plusieurs variables, Prépublication de l'Inst. Math. Alger, (1993).

[NE2] A. Necer, Éléments inversibles de R0(K), Prépublication de l'Inst. Math. Alger, (1992).

[PO1] A.J. Van Der Poorten, Some facts that should be better known, especially about rational functions, in: Number Theory and Applications, R. A. Mollin (ed.), (1989), 497-528. | MR | Zbl

[PO2] A.J. Van Der Poorten, Solution de la conjecture de Pisot sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 306 (1988), 97-102. | MR | Zbl

[RE] C. Reutenauer, Sur les éléments inversibles de l'algèbre de Hadamard, Bull. Soc. Math. France 110 (1982), 225-232. | Numdam | MR | Zbl

[SI] M. Singer, Notes on difference equations, Prépublication (1994).

[ST] R.P. Stanley, Differentiably finite power series, Eur. J. Comb. 1 (1980), 175-188. | MR | Zbl

[TA] E.J. Taft, Hadamard invertibility of linearly recursive sequences in several variables, Discrete Math. 139 (1995), 393-397. | MR | Zbl

[WS1] C.F. Woodcock et H. Sharif, Algebraic functions over a field of positive characteristic and Hadamard product, J. London Math. Soc. 37 (1988), 395-403. | MR | Zbl

[WS2] C.F. Woodcock et H. Sharif, Hadamard product of rational power series, J. Algebra 128 (1990), 517-527. | MR | Zbl

[WS3] C.F. Woodcock et H. Sharif, On the transcendance of certain series, J. Algebra 121 (1989), 364-369. | MR | Zbl

[ZE] D. Zeilberger, A holonomic approach to special functions identities, J. Comput. Appl. Math. 32 (1990), 321-368. | MR | Zbl