Environmental data: multivariate Extreme Value Theory in practice

Cai, Juan Juan; Fougères, Anne-Laure; Mercadier, Cécile

Journal de la société française de statistique, Tome 154 (2013) no. 2, pp. 178-199.

Nous nous intéressons à deux variables quantitatives mesurées au cours du temps, formant ainsi une série temporelle bivariée $(X_t,Y_t)$ supposée stationnaire. Nous souhaitons estimer une probabilité de défaillance, définie comme la probabilité $\mathbb{P}(X_t>x,Y_t>y)$, où $x$ et $y$ sont deux valeurs extrêmes (trop grandes pour être observées, ou presque). Plus précisément, $x$ et $y$ représentent des niveaux de retour dont l’estimation sera effectuée par trois méthodes concurrentes issues de la théorie univariée des valeurs extrêmes. La théorie multivariée des valeurs extrêmes fournira des estimateurs de la probabilité de défaillance prenant en compte la dépendance, pouvant subsister ou au contraire s’effacer lorsque l’on se focalise sur les valeurs extrêmes. Nous présenterons plusieurs méthodes d’estimation, fondées sur des approches introduites par Draisma et al. (2004) d’une part, et par Heffernan and Tawn (2004) d’autre part. Nous mettrons ensuite en concurrence les estimateurs déduits sur des simulations dans un premier temps, puis sur des données réelles environnementales. Les résultats obtenus seront finalement discutés.

Let $(X_t,Y_t)$ be a bivariate stationary time series in some environmental study. We are interested to estimate the failure probability defined as $P(X_t>x,Y_t>y)$, where $x$ and $y$ are high return levels. For the estimation of high return levels, we consider three methods from univariate extreme value theory, two of which deal with the extreme clusters. We further derive estimators for the bivariate failure probability, based on Draisma et al. (2004) ’s approach and on Heffernan and Tawn (2004) ’s approach. The comparison on different estimators is demonstrated via a simulation study. To the best of our knowledge, this is the first time that such a comparative study is performed. Finally, we apply the procedures to the real data set and the results are discussed.

Keywords: Return level estimation, Extremal index, Cluster, Estimation of failure probability, Multivariate extreme values, Extremal dependence, Environnemental data
Mot clés : Estimation du niveau de retour, Indice extrêmal, Cluster, Estimation de probabilité de défaillance, Valeurs extrêmes multivariées, Dépendance extrêmale, onnées environnementales

[1] Brockwell, P. J.; Davis, R. A. Introduction to Time Series and Forecasting, Springer, 2002 | MR | Zbl

[2] Beirlant, J.; Goegebeur, Y.; Segers, J.; Teugels, J. Statistics of Extremes: Theory and Applications, Wiley, Chichester, 2004 | MR | Zbl

[3] Bruun, J. T.; Tawn, J. A. Comparison of approaches for estimating the probability of coastal flooding, Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics), Volume 47 (1998), pp. 405 - 423 | Zbl

[4] Coles, S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer-Verlag, London, 2001 | MR | Zbl

[5] Draisma, G.; Drees, H.; Ferreira, A.; de Haan, L. Bivariate tail estimation: dependence in asymptotic independence, Bernoulli, Volume 10 (2004), pp. 251-280 | MR | Zbl

[6] de Haan, L.; de Ronde, J. Sea and Wind: Multivariate Extremes at Work, Extremes, Volume 1 (1998), pp. 7-45 | MR | Zbl

[7] de Haan, L.; Ferreira, A. Extreme Value Theory: An Introduction, Springer Verlag, 2006 | MR | Zbl

[8] Embrechts, P.; Klüppelberg, C.; Mikosch, T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin, 1997 | MR | Zbl

[9] Ferro, C. A. T.; Segers, J. Inference for clusters of extreme values, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology), Volume 65 (2003), pp. 545-556 | MR | Zbl

[10] Genest, Ch.; Quessy, J.-F.; Rémillard, B. Asymptotic local efficiency of Cramér-von Mises tests for multivariate independence, Ann. Statist., Volume 35 (2007) no. 1, pp. 166-191 | MR | Zbl

[11] Hill, B. M. A simple general approach to inference about the tail of a distribution, Annals of Statistics, Volume 3 (1975), pp. 1163-1174 | MR | Zbl

[12] Heffernan, J. E.; Tawn, J. A. A conditional approach for multivariate extreme values, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology), Volume 66 (2004), pp. 497-546 | MR | Zbl

[13] Ljung, G. M.; Box, G. E. P. On a Measure of a Lack of Fit in Time Series Models, Biometrika, Volume 65 (1978) no. 2, pp. 297-303 | Zbl

[14] Leadbetter, M. R. Extremes and local dependence in stationary sequences, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, Volume 65 (1983), pp. 291-306 | MR | Zbl

[15] Leadbetter, M. R.; Lindgren, G.; Rootzén, H. Extremes and related properties of random sequences and processes, Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, New York, 1983 | MR | Zbl

[16] Ledford, A.; Tawn, J. Statistics for near independence in multivariate extreme values, Biometrika, Volume 83 (1996), pp. 169-187 | MR | Zbl

[17] Politis, D. N.; Romano, J. P. The stationary bootstrap, Journal of the American Statistical Association, Volume 89 (1994), pp. 1303-1313 | MR | Zbl

[18] Resnick, S. I. Heavy-Tail Phenomena: Probabilistic and Statistical Modeling, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, Springer, New York, 2007 | MR | Zbl

[19] Resnick, S. I. Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer, New York, 1987 | MR | Zbl

[20] Southworth, H.; Heffernan, J. E. Texmex: Threshold exceedences and multivariate extremes (2012) (R package version 1.3)