Analyse régionale des systèmes distribués

Jai, A. El

doi:10.1051/cocv:2002054

Jai, A. El

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 8 (2002) , pp. 663-692.

Résumé
Abstract

Le but de cet article est de montrer l’état de l’art dans l’analyse des systèmes distribués lorsque l’on examine certains concepts à partir de considérations régionales. Autrement dit, à partir de la donnée d’un système dynamique défini sur un domaine $Ω$ , on ne s’intéresse à sa contrôlabilité, à son observabilité, à sa stabilité, ... que sur une région privilégiée $ω$ , $ω \subset Ω$ . Partant de concepts classiques, on développe leur adaptation au cas régional. On développe ensuite des concepts régionaux propres aux systèmes distribués tels que l’étalabilité. Divers développements spécifiques sont donnés. De nombreux résultats et exemples illustrent le travail.

The aim of this paper is to give the state of the art in the regional analysis of distributed parameter systems. The statement of regional analysis problems is: given a dynamical system defined on a domain $Ω$ , one focuses the study of its controllability, its observability, its stability, ... only on a given subregion $ω$ , $ω \subset Ω$ . We develop the extension of classical concepts as well as new concepts like spreadability. Various results and examples illustrate the paper.

MR 1932967 | Zbl 1063.93022

DOI : https://doi.org/10.1051/cocv:2002054
Classification : 93C20
Mots clés : systèmes distribués, contrôlabilité, actionneurs, étalabilité, contrôle

@article{COCV_2002__8__663_0,
     author = {Jai, A. El},
     title = {Analyse r\'egionale des syst\`emes distribu\'es},
     journal = {ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations},
     pages = {663--692},
     publisher = {EDP-Sciences},
     volume = {8},
     year = {2002},
     doi = {10.1051/cocv:2002054},
     zbl = {1063.93022},
     mrnumber = {1932967},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/COCV_2002__8__663_0/}
}

Jai, A. El. Analyse régionale des systèmes distribués. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 8 (2002) , pp. 663-692. doi : 10.1051/cocv:2002054. http://www.numdam.org/item/COCV_2002__8__663_0/

Bibliographie

[1] L. Afifi, Analyse régionale : systèmes distribués discrets - Source et détection, Thèse de Doctorat d'État. Kenitra, Maroc (1994).

[2] L. Afifi et A. El Jai, Strategic sensors and spy sensors. J. Appl. Math. Comput. Sci. 4 (1994) 553-573. | MR 1316256 | Zbl 0823.93011

[3] L. Afifi et A. El Jai, Observabilité des systèmes distribués discrets dans un tube. J. Marocain d'Automatique d'Informatique et de Traitement de Signal II (1994) 1-45.

[4] L. Afifi et A. El Jai, Spy sensors and detection. Internat. J. Syst. Sci. 25 (1995) 1447-1463. | Zbl 0831.93005

[5] L. Afifi, A. El Jai et M. Merry, Détection dans un tube, Rapport No. 15/98. LTS, Université de Perpignan, France (1998).

[6] L. Afifi, A. Chafiai et A. El Jai, Compensation spatiale en temps fini dans les Systèmes Distribués, Rapport No. 15/98. LTS, Université de Perpignan, France (1998).

[7] L. Afifi, A. Chafiai et A. El Jai, Regionally efficient and strategic actuators. Internat. J. Syst. Sci. (à paraître). | MR 1900025 | Zbl 1013.93029

[8] L. Afifi, A. El Jai et M. Merry, Detection and sources reconstruction in a tube. Internat. J. Syst. Sci. 31 (2000) 149-159.

[9] J.P. Aubin, Viability theory, Systems and Control : Foundations and Applications. Birkhauser (1991). | MR 1134779 | Zbl 0755.93003

[10] S. Angenent, Shrinking Doughnuts, dans Proc. of Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States, Vol. 3, édité par N.G. Lloyd et al. Birkhauser, Boston, MA (1992). | MR 1167827 | Zbl 0762.53028

[11] G. Barles, Remark on a flame propagation model. Rapport INRIA, 464 (1985).

[12] G. Barles, H.M. Soner et P.E. Souganidis, Front propagation and phase field theory. SIAM J. Control Optim. 31 (1993) 439-469. | MR 1205984 | Zbl 0785.35049

[13] G. Barles et P.E. Souganidis, A new approach to front propagation problems : Theory and applications. Arch. Rational Anal. 141 (1998) 237-296. | MR 1617291 | Zbl 0904.35034

[14] G. Barles, An Introduction to recent developments in front propagation problems, dans Écoles CEA-EDF-INRIA. Cours : suivi d'interfaces. INRIA Rocquencourt, France (1999).

[15] A.V. Balakrishnan, Applied functional analysis. Springer-Verlag (1976). | MR 470699 | Zbl 0333.93051

[16] A. Belfekih, Global approach to spreadability (2001).

[17] E. Beltrami, Mathematics for Dynamic Modeling. Academic press (1987). | MR 907282 | Zbl 0625.58012

[18] M.S. Berger, Nonlinearity and functional Analysis. Academic Press, Lectures on Nonlinear Problems in Math. Anal. | Zbl 0368.47001

[19] A. Berger et C. Tricot, Simple Climate Models Climatic Change and Impact : A General Introduction, dans Proc. of the European School of Climatology and Natural Hazards Course. Florence, 11-18 september 1988, édité par R. Fantechi et al. (1988).

[20] A. Bernoussi, Vers un nouveau concept dans les systèmes distribués : l'étalabilité. HDR, Université de Perpignan (2001).

[21] A. Bernoussi et A. El jai, Spreadability and evolving interfaces. AMIF : Applied Mathematics For Industrial Flow Problems. An ESF International Conference, Sant Feliu de Guixols (Barcelona), 1-3 October 1998. Theme 3 : Fronts, interfaces and free boundaries (1998).

[22] A. Bernoussi et A. El Jai, À propos de l'étalabilité, Rapport No. 10/98. LTS, Université de Perpignan (1998).

[23] A. Bernoussi, Nouvelle approche de l’étalabilité : $𝒜$ -étalabilité, JANO 5, 28/30 Avril. Kenitra, Maroc (1998).

[24] A. Bernoussi, Spreadability and spray control, dans Journée thématique : Modélisation et contrôle des systèmes, 30 mars 1999. Perpignan, France (1999).

[25] A. Bernoussi et A. El Jai, Spreadability, wavefront and evolving interfaces, Rapport 4/99. LTS, France (1999) 1-36.

[26] A. Bernoussi et A. El Jai, New approach of spreadability, Rapport, No. 5/99. LTS, France (1999) 1-22. | MR 1773140

[27] A. Bernoussi et A. El jai, Distributed Parameters Systems Spreadability and evolving interfaces, MTNS 2000, 19-23 june. Perpignan, France (2000).

[28] A. Bernoussi et A. El Jai, New Approach of Spreadability. J. Math. Comput. Modelling 31 (2000) 93-109. | MR 1773140 | Zbl 0960.93018

[29] A. Bernoussi et A. El Jai, Étalabilité au sens des aires, JANO6, 8-11 mars, 2000. Casablanca, Maroc (2000).

[30] A. Bernoussi, A. El Jai et A.J. Pritchard, Spreadability and evolving interfaces. Int. J. Syst. Sci. (2001) 1-16. | MR 1960430 | Zbl 1014.93015

[31] Ah. Bernoussi, Étalabilité et contrôle étaleur, Thèse de Doctorat. Université de Perpignan (1999).

[32] Ah. Bernoussi et D. Ucinski, Weak Spray Control, dans Second Workshop on Analysis and Optimization of complex environmental systems. Zielona Gora, Poland (1998).

[33] Ah. Bernoussi, A. El Jai et D. Ucinski, Modified Weak Spray Control. Internat. J. Control (proposé).

[34] L. Berrahmoune, Controlability of dampted flexible systems, dans Fifth IFAC Symposium on Control of Distributed Parameter Systems. Perpignan, France (1989).

[35] L. Berrahmoune, Actionneurs et capteurs dans la contrôlabilité et la stabilité de systèmes distribués flexibles, Thèse de Doctorat d'État. Faculté des Sciences de Rabat, Maroc (1990).

[36] L. Berrahmoune et A. El Jai, On Hilbert uniqueness method : A semi-group approach, dans Fifth IFAC Symposium on Control of Distributed Parameter Systems. Perpignan, France (1989).

[37] K.A. Brakke, The motion of a surface by its Mean Curvature. Princeton University Press, Princeton (1978). | MR 485012 | Zbl 0386.53047

[38] B. Chopard et M. Droz, Cellular automata modelling of physical systems. Collection Alea-Saclay (1998). | MR 1669736 | Zbl 0973.82033

[39] R.F. Curtain et A.J. Pritchard, Infinite Dimensional Linear Systems Theory. Springer, Lectures Notes in Control and Inform. Sci. 8 (1978). | MR 516812 | Zbl 0389.93001

[40] Xu-Yan Chen, Dynamics of interfaces in reaction diffusion systems. Hirochima Math. J. 21 (1991) 47-83 | MR 1091432 | Zbl 0784.35048

[41] D.L. Chopp, Numerical Computation of Self-Similar Solutions for Mean Curvature Flow. J. Exper. Math. 3 (1994) 1-15. | MR 1302814 | Zbl 0811.53011

[42] R.L. Colasanti et J.P. Grime, Resource Dynamics and Vegetation processes : A deterministic model using two-dimensional cellular automata. Functional Ecology 7 (1993) 169-176.

[43] R.F. Dautray et J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, Série scientifique, Tome 3. Masson (1984). | Zbl 0642.35001

[44] J.I. Diaz et J.-L. Lions, Mathematics Climate and Environment. Masson, Res. Notes in Appl. Math. RMA 27 (1993). | MR 1263040 | Zbl 0782.00023

[45] M.C. Delfour et S.K. Mitter, Controlability and observability for infinite dimensional systems. SIAM J. Control. 10 (1972) 329-333. | MR 309588 | Zbl 0242.93012

[46] S. Dolecki, Observability for the one dimensional heat equation. Stud. Math. 48 (1973) 291-305. | MR 333444 | Zbl 0264.35036

[47] S. Dolecki et D. Russel, A general theory of observation and control. SIAM J. Control 15 (1977) 185-220. | MR 451141 | Zbl 0353.93012

[48] A. El Jai, Distributed Systems Analysis via Actuators and Sensors. Internat. J. Sensors and Actuators 29 (1991) 1-11.

[49] A. El Jai, Systems analysis approach to vegetation dynamics, Plenary lecture, dans 2nd International Conference on Differential Equations. Marrakech (1995).

[50] A. El Jai, Spreadability of DPS, MTNS (Mathematical Theory of Networks and Systems). St. Louis Missouri, USA (1996).

[51] A. El Jai, Nouvelle approche pour la modélisation des systèmes en expansion spatiales : dynamique de végétation, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement. Elsevier (1997) 439-445.

[52] A. El Jai et L. Berrahmoune, Localisation d'actionneurs zones pour la contrôlabilité de systèmes paraboliques. C. R. Acad. Sci. 297 (1983) 647-650. | Zbl 0531.93010

[53] A. El Jai et L. Berrahmoune, Localisation d'actionneurs ponctuels pour la contrôlabilité de systèmes paraboliques. C. R. Acad. Sci. 298 (1983) 47-50. | Zbl 0572.93005

[54] A. El Jai et L. Berrahmoune, Localisation d'actionneurs frontières pour la contrôlabilité de systèmes paraboliques. C. R. Acad. Sci. 298 (1984) 177-180. | Zbl 0572.93006

[55] A. El Jai et S. El Yacoubi, Automates cellulaires et étalabilité, Report. Université de Perpignan (1996).

[56] A. El Jai et K. Kassara, Spreadable distributed systems. Math. Comput. Modelling 20 (1994) 47-64. | MR 1286198 | Zbl 0829.92018

[57] A. El Jai et K. Kassara, Spreadability of transport systems. Internat. J. Syst. Sci. 27 (1996) 681-688. | Zbl 0857.35125

[58] A. El Jai et A.J. Pritchard, Distributed parameter Systems Analysis via sensors and actuators. J. Wiley, Texts in Appl. Math. (1988).

[59] A. El Jai et A.J. Pritchard, Regional controllability of Distributed Systems, dans Int. INRIA-IFAC Conf. on Optimization and Analysis of Systems. Sophia Antipolis (1992). | MR 1208278 | Zbl 0793.93007

[60] A. El Jai, S. El Yacoubi et J. Karrakchou, Spreadability and spray actuators. Appl. Math. Comput. Sci. 2 (1998). | MR 1635806 | Zbl 0940.93039

[61] A. El Jai, K. Kassara et O. Cabrera, Spray control. Internat. J. Control 68 (1997) 709-730. | MR 1689668 | Zbl 0891.93042

[62] A. El Jai, M.C. Simon et E. Zerrik, Regional observability and sensors structures. Internat. J. Sensors and Actuators 39 (1993) 301-313.

[63] A. El Jai, M.C. Simon et E. Zerrik, Numerical approach for regional observation problem. Application to a thermal process, dans 14th IMACS World Congress Atlanta, Georgie, USA (1994).

[64] A. El Jai, M. Fournier, K. Kassara et B. Noumare, Vegetation Dynamics : A deterministic modelling approach using the concept of spreadability. Theoret. Appl. Climatology J. 52 (1995) 241-249.

[65] A. El Jai, M.C. Simon, E. Zerrik et A.J. Pritchard, Regional controllability of distributed systems. Internat. J. Control 62 (1995) 1351-1365. | MR 1637974 | Zbl 0844.93016

[66] A. El Jai, E. Zerrik, M.C. Simon et M. Amouroux, Regional observation of a thermal process. IEEE Trans. Automat. Control 40 (1995). | MR 1319259 | Zbl 0821.93016

[67] A. El Jai, O. Cabrera, M. Fournier et Y. Maurissen, A prediction-correction alternative for modelling spatio-temporal systems. Application to an ecological problem, Ecological Modelling. Ecomod195 (1998).

[68] S. El Yacoubi et J. Karrakchou, DPS Modelling via cellular automata. Application to delay systems, dans Conference on Numerical Analysis and Optimization. Kenitra, Morocco (1998).

[69] S. El Yacoubi et A. El Jai, DPS Modelling and cellular automata. Math. Comput. Modelling (à paraître).

[70] L.C. Evans, H.M. Soner et P.E. Souganidis, Phase transitions and generalized motion by mean curvature. I. J. Diff. Geom. 33 (1992) 635-681. | Zbl 0726.53029

[71] S. Goto, Generalized motion of hypersurfaces whose growth speed depends superlinearly of the curvature tensor. Differential Int. Equations 7 (1994) 323-343. | MR 1255892 | Zbl 0808.35007

[72] Y. Giga et M.H. Sato, Generalized interface evolution with Neumann boundary condition. Proc. Japan Acad. Ser. A 67 (1991) 263-266. | MR 1137924 | Zbl 0786.35076

[73] T.Y. Hou, An Numerical solutions to free boundary problems. Écoles CEA-EDF-INRIA. Cours : suivie d'interfaces. INRIA Rocquencourt, France (1999).

[74] K. Kassara, Étalabilité des systèmes distribués, Thèse de Doctorat d'État. EMI, Rabat, Maroc (1999).

[75] A. Kolmogoroff, I. Petrovsky et N. Piscounoff, Étude de l'équation de la diffusion avec croissance de la quantité et son application à un problème biologique. Moscou Univ. Bull. Math. 1 (1937) 1-25. | Zbl 0018.32106

[76] I. Lasiecka et R. Trigiani, Control Problems for Systems Described by Partial Differential Equations and Application, dans Proc. of the IFIP-WG 7.2 Working Conference. Gainesville, Florida, February 3-6 (1986). Springer-Verlag, Lecture Notes in Control and Inform. Sci. (1987). | MR 910502 | Zbl 0619.00014

[77] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, Perturbation et Stabilisation des systèmes distribués, RMA 8 et 9. Masson, Paris (1988). | MR 953547 | Zbl 0653.93002

[78] J.-L. Lions, Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. Science Press. Beijing, China (1981). Gordon and breach, Science Publishers, Inc. New York (1981). | MR 664760 | Zbl 0542.93034

[79] A.M. Micheletti, Perturbazione dello spettro di un operatore ellitico di tipo variazionale, in relazione ad una variazione del campo. Ricerche di Mat. V.XXV (1976). | Zbl 0355.35066

[80] D. Mollison, Spatial contact models for ecological and epidemic spread. J. Roy. Stat. Soc. B 39 (1997) 283-326. | MR 496851 | Zbl 0374.60110

[81] R.A. Monserud, N.M. Tchebakova et R. Leemans, Global Vegetation Change predicted by the modified Budyko Model. Climatic Change 25 (1993) 59-83.

[82] J.D. Murray, Mathematical Biology. Springer, Biomath. Texts (1993). | MR 1239892 | Zbl 0779.92001

[83] M. Rachik, Quelques éléments sur l'analyse et le contrôle des systèmes distribués, Thèse de Doctorat d'État. Université de Rabat, Maroc (1995).

[84] S. Osher et J.A. Sethian, Fronts propagating with curvature-dependant speed : Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulation. J. Comput. Phys. 79 (1988) 12-49. | Zbl 0659.65132

[85] J.A. Sethian, Curvature and the evolution of fronts. Comm. Math. Phys. 101 (1985) 487-499. | MR 815197 | Zbl 0619.76087

[86] J.A. Sethian, Level set methods : Evolving interfaces in geometry, fluid mechanics, computer vision and material sciences. Campbridge Univresity Press, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math. (1996). | MR 1409367 | Zbl 0859.76004

[87] J.A. Sethian, Level Set Methods and Fast Marching Methods. Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Sciences. Cambridge University Press, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math. (1999). | MR 1700751 | Zbl 0973.76003

[88] R. Sepulchre, M. Jankovic et P. Kokotovic, Constructive Nonlinear Control. Springer, Commun. and Control Engrg. (1997). | MR 1481435 | Zbl 1067.93500

[89] H.M. Soner, Motion of a set by the curvature of its boundary. J. Differential Equations 101 (1993) 313-372. | MR 1204331 | Zbl 0769.35070

[90] J. Sokolowski et J.P. Zolesio, Introduction to Shape Optimization, Shape Sensitivity Analysis. Springer-Verlag, Springer Ser. in Comput. Math. 16 (1992). | MR 1215733 | Zbl 0761.73003

[91] A.M. Solomon et H.H. Shugart, Vegetation Dynamics and Global Change. IIASA. Chapman and Hall. Library of Congress Cataloging in Publication Data (1993).

[92] D. Ucinski et A. El Jai, On weak spreadability of DPS and its achievement via LQ Control Techniques. IMA J. Control and Inform. Sci. 14 (1997) 153-174. | MR 1470032 | Zbl 0945.49027

[93] A.T. Winfree, The Geometry of Biological Time. Springer-Verlag, Berlin (1980). | MR 572965 | Zbl 0464.92001

[94] S. Wolfram, Cellular automata and complexity. Addison-Wesley Publishing Company, Sci. Math. Comput. (1994). | Zbl 0823.68003

[95] A.N. Zaikin et A.M. Zhabotinski, Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase self-oscillatting systems. Nature 225 (1970) 535-537.

[96] E.H. Zerrik, Regional Analysis of Distributed Parameter Systems, Thèse d'État. Faculté des Sciences de Rabat, Maroc (1993).

[97] E.H. Zerrik, L. Badraoui et A. El Jai, Sensors and regional boundary state reconstruction of parabolic systems. Sensors and Actuators J. 75 (1999) 102-117.

[98] E.H. Zerrik, A. Boutoulout et A. El Jai, Actuators and regional boundary controllability of parabolic systems. Int. J. Syst. Sci. 31 (2000) 73-82. | Zbl 1080.93651

[99] E.H. Zerrik, A. Kamal et A. Boutoulout, Regional gradient controllability of parabolic systems. Appl. Math. Comput. Sci. 9 (1999) 101-121. | MR 1736669 | Zbl 1017.93013