Familles fuchsiennes d’équations aux (q-)différences et confluence  [ Fuchsian families of equations ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 1, p. 67-96

In a first part, we give a method for solving a family of Fuchsian systems of operators of pseudo-derivations associated to a family of homographies with two parameters which unify and generalize the differential, the difference and the q-difference cases. In a second part, we study the problems of confluence related to these families.

On commence par présenter une méthode de résolution d’une famille de systèmes fuchsiens d’opérateurs de pseudo-dérivations associées à une famille à deux paramètres d’homographies, qui unifie et généralise les cas connus des systèmes différentiels, aux différences ou aux q-différences. Nous traitons ensuite dans cette famille des problèmes de confluence que l’on peut voir comme des problèmes de continuité en ces deux paramètres.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2549
Classification:  39A13,  41A58,  65Q05
Keywords: functional equations, special functions, confluence, (q-)factorial series
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Duval, Anne; Roques, Julien. Familles fuchsiennes d’équations aux ($q$-)différences et confluence. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 1, pp. 67-96. doi : 10.24033/bsmf.2549. http://www.numdam.org/item/BSMF_2008__136_1_67_0/

[1] A. De Sole & V. G. Kac - « On integral representations of q-gamma and q-beta functions », Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 16 (2005), p. 11-29, arXiv :math.QA/0302032. | MR 2225920 | Zbl 1225.33017

[2] A. Duval - « Séries de q-factorielles, opérateurs aux q-différences et confluence », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 12 (2003), p. 335-374. | Numdam | MR 2030091 | Zbl 1096.33009

[3] -, « Confluence q-différence vers différence pour un système fuchsien », Pacific J. Math. 217 (2004), p. 221-245. | MR 2109932 | Zbl 1073.39013

[4] -, « Une remarque sur les “logarithmes” associés à certains caractères », Aequationes Math. 68 (2004), p. 88-97. | MR 2167011 | Zbl 1228.39015

[5] W. A. Harris, Jr. - « Linear systems of difference equations », Contrib. Differential Eq. 1 (1963), p. 489-518. | MR 147801 | Zbl 0125.32302

[6] -, « Analytic theory of difference equations », in Analytic theory of differential equations (Proc. Conf., Western Michigan Univ., Kalamazoo, Mich., 1970), Lecture Notes in Math., vol. 183, Springer, 1971, p. 46-58. Lecture Notes in Math., Vol. 183. | MR 390565 | Zbl 0232.39001

[7] T. H. Koornwinder - « Jacobi functions as limit cases of q-ultraspherical polynomials », J. Math. Anal. Appl. 148 (1990), p. 44-54. | MR 1052043 | Zbl 0713.33010

[8] J. Roques - « Classification rationnelle et confluence des systèmes aux différences singuliers réguliers », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), p. 1663-1699. | Numdam | MR 2282672 | Zbl 1125.39019

[9] -, « Sur les systèmes aux (q-)différences », Thèse, Université Paul Sabatier (Toulouse 3), 2007.

[10] J. Sauloy - « Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 50 (2000), p. 1021-1071. | Numdam | MR 1799737 | Zbl 0957.05012