Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 1, p. 119-163

We consider a large class of non compact hyperbolic manifolds M= n /Γ with cusps and we prove that the winding process (Y t ) generated by a closed 1-form supported on a neighborhood of a cusp 𝒞, satisfies a limit theorem, with an asymptotic stable law and a renormalising factor depending only on the rank of the cusp 𝒞 and the Poincaré exponent δ of Γ. No assumption on the value of δ is required and this theorem generalises previous results due to Y. Guivarc’h, Y. Le Jan, J. Franchi and N. Enriquez.

Nous considérons une large classe de variétés hyperboliques non-compactes M= n /Γ possédant des cusps et nous démontrons que le processus (Y t ) engendré par une forme fermée portée par un voisinage d’un cusp 𝒞 converge en loi vers une loi stable ; la loi limite et le facteur de renormalisation dépendent de la nature du cusp et de l’exposant de Poincaré δ du groupe Γ. Aucune restriction sur la valeur de δ n’est imposée et cet article généralise ainsi toute une série de résultats dus à Y. Guivarc’h, Y. Le Jan, J. Franchi et N. Enriquez.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2503
Classification:  58F17,  58F20,  20H10
Keywords: geodesic flow, asymptotic winding, hyperbolic manifolds, central limit theorem, stable law, transfer operator
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Babillot, Martine; Peigné, Marc. Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 1, pp. 119-163. doi : 10.24033/bsmf.2503. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_1_119_0/

[1] E. Artin - Ein mechanisches System mit quasiergodishen Bahnen, p.499-501, Collected papers, Addison Wesley, 1965. | JFM 50.0677.11 | MR 671416 | MR 176888

[2] M. Babillot & M. Peigné - « Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux », Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000), p. 81-120. | Numdam | MR 1743720 | Zbl 0984.37033

[3] A. F. Beardon - « The exponent of convergence of Poincaré series », Proc. London Math. Soc. 18 (1968), p. 461-483. | MR 227402 | Zbl 0162.38801

[4] M. Bourdon - « Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT (-1)-espace », Enseign. Math. 118 (1995), p. 63-102. | MR 1341941 | Zbl 0871.58069

[5] R. Bowen - « Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms », Lecture Notes in Mathematics, vol. 470, 1975. | MR 442989 | Zbl 0308.28010

[6] R. Bowen & C. Series - « Markov maps associated with Fuchsian groups », Publ. Math. IHÉS 50 (1979), p. 153-170. | Numdam | MR 556585 | Zbl 0439.30033

[7] J.-P. Conze & S. Le Borgne - « Méthode de martingales et flot géodésique sur une surface de courbure constante négative », Ergo. Th. Dyn. Syst. 21 (2001), p. 421-441. | MR 1827112 | Zbl 0983.37034

[8] F. Dal'Bo, J.-P. Otal & M. Peigné - « Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis », Israel J. Math. 118 (2000), p. 109-124. | MR 1776078 | Zbl 0968.53023

[9] F. Dal'Bo & M. Peigné - « Groupes du ping-pong et géodésiques fermées en courbure -1 », Ann. Inst. Fourier 46 (1996), p. 755-799. | Numdam | MR 1411728 | Zbl 0853.53032

[10] W. Doeblin & R. Fortet - « Sur les chaînes à liaison complètes », Bull. Soc. Math. France 65 (1937), p. 132-148. | JFM 63.1077.05 | Numdam | MR 1505076 | Zbl 0018.03303

[11] P. Eberlein - « Geodesic flows on negatively curved manifolds », Ann. of Math. 95 (1973), p. 492-510. | MR 310926 | Zbl 0217.47304

[12] N. Enriquez, J. Franchi & Y. Le Jan - « Central Limit Theorem for the geodesic flow associated with a Kleinian group, case δ>1 2d », J. Math. Pures Appl. 80 (2001), p. 153-175. | MR 1815697 | Zbl 0986.37009

[13] N. Enriquez & Y. Le Jan - « Statistic of the winding of geodesics on a Riemann surface with finite volume and constant negative curvature », Rev. Mat. Ibero. 13 (1997), p. 377-401. | MR 1617645 | Zbl 0907.58054

[14] J. Franchi - « Asymptotic singular homology of a complete hyperbolic 3-manifold of finite volume », Proc. London Math. Soc. 79 (1999), p. 451-480. | MR 1702250 | Zbl 1056.58012

[15] I. M. Gel'Fand & I. I. Pyateckii-Sapiro - « A theorem of Poincaré », Dokl. Akad. Nauk. SSSR 127 (1959), p. 490-493. | MR 107738 | Zbl 0107.17101

[16] E. Ghys & P. De La Harpe - « Sur les groupes hyperboliques d'après M.Gromov », Progress in Math., vol. 83, Birkhaüser, 1988. | MR 1086657 | Zbl 0731.20025

[17] Y. Guivarc'H & J. Hardy - « Théorèmes limites pour une classe de chaînes de Markov et applications aux difféomorphismes d'Anosov », Ann. Inst. Henri Poincaré 24, p. 73-98. | Numdam | MR 937957 | Zbl 0649.60041

[18] Y. Guivarc'H & Y. Le Jan - « Asymptotic winding of the geodesic flow on modular surfaces and continuous fractions », Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993), p. 23-50. | Numdam | MR 1209912 | Zbl 0784.60076

[19] -, « Note rectificative: “Asymptotic winding of the geodesic flow on modular surfaces and continuous fractions" », Ann. Sci. École Norm. Sup. (1996), p. 811-814. | Numdam | Zbl 0878.60052

[20] H. Hennion - « Sur un théorème spectral et son application aux noyaux Lipschitziens », Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), p. 637-634. | MR 1129880 | Zbl 0772.60049

[21] H. Hennion & L. Hervé - « Limit theorem for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness », Lecture Notes in Math., vol. 1766. | MR 1862393 | Zbl 0983.60005

[22] V. Kaïmanovitch - « Invariant measures of the geodesic flow and measures at infinity on negatively curved manifolds », Ann. Inst. Henri Poincaré 53 (1900), p. 361-393. | Numdam | MR 1096098 | Zbl 0725.58026

[23] S. Lalley - « Closed geodesics in homology classes on surfaces of variable negative curvature », Duke Math. J. 58 (1989), p. 795-821. | MR 1016446 | Zbl 0732.53035

[24] S. Le Borgne - « Principe d’invariance pour les flots diagonaux sur SL (d,)/ SL (d,) », Ann. Inst. Henri Poincaré 38 (2002), p. 581-612. | Numdam | MR 1914940 | Zbl 1009.60018

[25] Y. Le Jan - « The central Limit Theorem for the geodesic flow on non compact manifolds of constant negative curvature », Duke Math. J. 74 (1994), p. 159-175. | MR 1271468 | Zbl 0809.58031

[26] B. Maskitt - Kleinian Groups, Springer-Verlag, Berlin, 1988. | MR 959135 | Zbl 0627.30039

[27] J.-P. Otal & M. Peigné - « Principe variationnel et groupes Kleiniens », To appear in Duke Math. J. | MR 2097356 | Zbl 1112.37019

[28] W. Parry & M. Pollicott - « Zeta functions and the periodic orbit stucture of hyperbolic dynamics », Astérisque (1990), p. 187-188. | MR 1085356 | Zbl 0726.58003

[29] S. J. Patterson - « The limit set of a Fuchsian group », Acta Math. 136 (1976), p. 241-273. | MR 450547 | Zbl 0336.30005

[30] M. Peigné - « On the Patterson-Sullivan measure of some discrete groups of isometries », Israel J. Math. 133 (2003), p. 77-88. | MR 1968423 | Zbl 1017.37022

[31] J. G. Ratcliffe - Foundations of Hyperbolic Geometry, Springer Verlag, New York, 1994. | MR 1299730 | Zbl 0809.51001

[32] M. Ratner - « The Central Limit Theorem for geodesic flows on n-manifolds of negative curvature », Israel J. Math. 16 (1973), p. 181-197. | MR 333121 | Zbl 0283.58010

[33] C. Series - « The modular surface and continued fractions », J. London Math. Soc. 31 (1985), p. 69-80. | MR 810563 | Zbl 0545.30001

[34] J. G. Sinai - « The Central Limit Theorem for geodesic flows on manifolds of constant negative curvature », Dokl. Akad. Nauk. SSSR 1 (1960), p. 983-987. | MR 125607 | Zbl 0129.31103

[35] B. Stratmann & S. L. Velani - « The Patterson measure for geometrically finite groups with parabolic elements, new and old », Proc. Lond. Math. Soc. 71 (1995), p. 197-220. | MR 1327939 | Zbl 0821.58026

[36] D. Sullivan - « The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions », Publ. Math. IHÉS 50 (1979), p. 171-202. | Numdam | MR 556586 | Zbl 0439.30034