Conducteur, descente et pincement  [ Conductor, Descent and Pinching ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, p. 553-585

This paper investigates some fiber products of rings, and dually some pushouts of schemes. The algebraic side is centered on the use of the conductor to solve some descent problems, problems which can be better reached by comparing suitable categories of modules on the fiber product of rings, with the fiber product of the similar categories for each of the factors. The main algebraic result (§2.2) asserts that these categories are very close to be equivalent, and that they are indeed equivalent as long as one restricts to flat modules. The geometric side is concerned with the existence of schemes defined by pinching: starting with a scheme X ' , a closed subscheme Y ' and a finite morphism Y ' Y, the “pinching construction” is intended to produce a scheme X which is the pushout of X ' along the morphism Y ' Y; such a scheme is proved to exist (§5.4) under the mild asumption that any finite set of points in X ' (resp. in Y) is contained in an open affine subset of X ' (resp. of Y).

Une somme amalgamée de schémas est décrite localement par un produit fibré d'anneaux. Ce texte donne un résultat global d'existence (§5.4) de schémas définis comme certaines sommes amalgamées et un procédé algébrique (§2.2) pour décrire les modules sur produits fibrés d'anneaux correspondants.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2455
Classification:  13Axx,  13Bxx,  14A15
Keywords: fiber product, pushout, finite descent, pinching
@article{BSMF_2003__131_4_553_0,
     author = {Ferrand, Daniel},
     title = {Conducteur, descente et pincement},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {131},
     number = {4},
     year = {2003},
     pages = {553-585},
     doi = {10.24033/bsmf.2455},
     zbl = {1058.14003},
     mrnumber = {2044495},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_4_553_0}
}
Ferrand, Daniel. Conducteur, descente et pincement. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 553-585. doi : 10.24033/bsmf.2455. http://www.numdam.org/item/BSMF_2003__131_4_553_0/

[1] S. Anantharaman - Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1, Mém. Soc. Math. France, vol. 33, Soc. Math. France, Paris, 1973. | Numdam | MR 318167 | Zbl 0286.14001

[2] M. Artin - « Algebraization of Formal Moduli II : Existence of Modifications », Annals of Math. 91 (1970), p. 88-135. | MR 260747 | Zbl 0185.24701

[3] H. Bass - Algebraic K-Theory, Benjamin, 1968. | MR 249491 | Zbl 0174.30302

[4] J. Bénabou & J. Roubaud - « Monades et descente », C. R. Acad. Sci. Paris 270 (1970), p. 96-98. | MR 255631 | Zbl 0287.18007

[5] N. Bourbaki - Algèbre commutative, Masson, Paris, 1961-1998. | MR 2272929

[6] -, Topologie générale, chap. 1 à 4, Masson, Paris, 1990.

[7] P. Colmez & J.-P. Serre (éds.) - Correspondance Grothendieck-Serre, Documents mathématiques, vol. 2, Soc. Math. France, Paris, 2001. | MR 1942134 | Zbl 0986.01019

[8] D. Ferrand - « Descente de la platitude par un homomorphisme fini », C. R. Acad. Sci. Paris 269 (1969), p. 946-949. | MR 260783 | Zbl 0185.10001

[9] A. Grothendieck - Éléments de géométrie algébrique, rédigés avec la collaboration de J.Dieudonné, chap.I, Springer-Verlag, 1971 ; chap.II-IV, Publ. Math. I.H.E.S., 1961-1967. | Zbl 0203.23301

[10] -, « Techniques de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, I », Séminaire Bourbaki, 1959/60, Soc. Math. France, Paris, 1995, exposé190. | Numdam | Zbl 0229.14007

[11] A. Levelt - Sur la pro-représentabilité de certains foncteurs en géométrie algébrique, Katholieke Universiteit, Nijmegen, 1964, notes multigraphiées.

[12] J. Milnor - Introduction to Algebraic K-Theory, Ann. Math. Studies, vol. 72, Princeton University Press, 1971. | MR 349811 | Zbl 0237.18005

[13] J.-P. Olivier - « Anneaux absolument plats universels », in [18], exposé 6. | MR 379471

[14] -, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles », Bol. Soc. Mat. Mexicana 23 (1978), no. 2, p. 68-74. | MR 579664 | Zbl 0447.13003

[15] A. Philippe - « Morphisme net d'anneaux et descente », Bull. Sci. Math. 97 (1973), no. 2, p. 57-64. | MR 332935 | Zbl 0288.13008

[16] M. Raynaud - « Un critère d'effectivité de descente », in [18], exposé 5. | Numdam | Zbl 0165.24002

[17] -, « Passage au quotient par une relation d'équivalence plate », Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 78-85. | MR 232781 | Zbl 0165.24003

[18] P. Samuel (éd.) - Séminaire d'algèbre commutative, 1967/68 : Les épimorphismes d'anneaux, E.N.S.J.F., 1968. | Zbl 0165.05203

[19] J.-P. Serre - Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959. | MR 103191 | Zbl 0718.14001

[20] J. Venken - « Non effectivité de la descente de modules plats par un morphisme fini d'anneaux locaux artiniens », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 272 (1971), p. A1553-A1554. | MR 289505 | Zbl 0216.32703