Sur les représentations de Krammer génériques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1883-1925.

Nous définissons une représentation des groupes d’Artin de type ADE par monodromie de systèmes KZ généralisés, dont nous montrons qu’elle est isomorphe à la représentation de Krammer généralisée définie originellement par A.M.Cohen et D.Wales, et indépendamment par F.Digne. Cela implique que tous les groupes d’Artin purs de type sphérique sont résiduellement nilpotents-sans-torsion, donc (bi-)ordonnables. En utilisant cette construction nous montrons que ces représentations irréductibles sont Zariski-denses dans le groupe linéaire général correspondant. Il s’ensuit que tout groupe d’Artin irréductible de type sphérique est plongeable de façon Zariski-dense dans un groupe linéaire classique. Comme applications en théorie des groupes nous démontrons des propriétés de non décomposabilité en produits directs pour plusieurs sous-groupes des groupes d’Artin, et généralisons en tous types une propriété remarquable, due à D.Long, des groupes de tresses. Nous déterminons également les sous-groupes de Frattini et de Fitting, et discutons les propriétés d’unitarisabilité de ces représentations.

We define a representation of the Artin groups of type ADE by monodromy of generalized KZ-systems which is shown to be isomorphic to the generalized Krammer representation originally defined by A.M.Cohen and D.Wales, and independantly by F.Digne. It follows that all pure Artin groups of spherical type are residually torsion-free nilpotent, hence (bi-)orderable. Using that construction we show that these irreducible representations are Zariski-dense in the corresponding general linear group. It follows that all irreducible Artin groups of spherical type can be embedded as Zariski-dense subgroups of some general linear group. As group-theoretical applications we prove properties of non-decomposition in direct products for several subgroups of Artin groups, and a generalization in arbitrary types of a celebrated property of D.Long for the braid groups. We also determine the Frattini and Fitting subgroups and discuss unitarity properties of the representations.

DOI : 10.5802/aif.2317
Classification : 20F36, 34M50
Mot clés : groupes d’Artin, représentation de Krammer
Keywords: Artin groups, Krammer representation
Marin, Ivan 1

1 Institut de Mathématiques de Jussieu 175 rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
@article{AIF_2007__57_6_1883_0,
     author = {Marin, Ivan},
     title = {Sur les repr\'esentations de {Krammer} g\'en\'eriques},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1883--1925},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {57},
     number = {6},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/aif.2317},
     mrnumber = {2377890},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2317/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marin, Ivan
TI  - Sur les représentations de Krammer génériques
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2007
SP  - 1883
EP  - 1925
VL  - 57
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2317/
DO  - 10.5802/aif.2317
LA  - fr
ID  - AIF_2007__57_6_1883_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Marin, Ivan
%T Sur les représentations de Krammer génériques
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2007
%P 1883-1925
%V 57
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2317/
%R 10.5802/aif.2317
%G fr
%F AIF_2007__57_6_1883_0
Marin, Ivan. Sur les représentations de Krammer génériques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1883-1925. doi : 10.5802/aif.2317. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2317/

[1] Bigelow, S. Braid groups are linear, J. Am. Math. Soc., Volume 14 (2001), pp. 471-486 | DOI | MR | Zbl

[2] Birman, J. S.; Wenzl, H. Braids, Link polynomials and a new algebra, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 313 (1989), pp. 249-273 | DOI | MR | Zbl

[3] Borel, A. Linear algebraic groups, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Volume 126, Springer-Verlag, New-York, 1991 | MR | Zbl

[4] Bourbaki, N. Groupes et algèbres de Lie, chap.4,5,6, Hermann, Paris, 1968 | MR | Zbl

[5] Brieskorn, E. Sur les groupes de tresses [d’après V.I. Arnol’d], Séminaire Bourbaki, 24e année (1971/1972), Exposé401, Lecture Notes in Math., Volume 317, Springer, Berlin, 1973, pp. 21-44 | Numdam | Zbl

[6] Broué, M.; Malle, G. Zyclotomische Heckealgebren, Astérisque, Soc. Math. France, Volume 212 (1993), pp. 7-92 | MR | Zbl

[7] Broué, M.; Malle, G.; Rouquier, R. Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras, J. reine angew. Math., Volume 500 (1998), pp. 127-190 | MR | Zbl

[8] Budney, R. On the image of the Lawrence-Krammer representation, J. Knot Theory Ramifications, Volume 14 (2005), pp. 773-789 | DOI | MR | Zbl

[9] Cherednik, I. Calculation of the monodromy of some W-invariant local systems of type B, C and D, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 24 (1990), pp. 88-89 trad. anglaise Funct. Anal. Appl. 24 (1990), 78–79 | DOI | MR | Zbl

[10] Cohen, A. M.; Gijsbers, D. A. H.; Wales, D. B. BMW Algebras of simply laced type, J. Algebra, Volume 286 (2005), pp. 107-153 | DOI | MR | Zbl

[11] Cohen, A. M.; Wales, D. B. Linearity of Artin groups of finite type, Israel J. Math., Volume 131 (2002), pp. 101-123 | DOI | MR | Zbl

[12] de Cornulier, Y.; de la Harpe, P. Décompositions de groupes par produit direct et groupes de Coxeter arXiv :math.GR/0507366, à paraître dans les actes de la conférence ‘Asymptotic and Probabilistic Methods in Geometric Group Theory’ à Genève (juin 2005) | Zbl

[13] Crisp, J. Injective maps between Artin groups, in ‘Geometric group theory down under’, De Gruyter, 1999 | Zbl

[14] Crisp, J.; Paris, L. The solution to a conjecture of Tits on the subgroup generated by the squares of the generators of an Artin group, Invent. Math., Volume 145 (2001), pp. 19-36 | DOI | MR | Zbl

[15] Digne, F. On the linearity of Artin braid groups, J. Algebra, Volume 268 (2003), pp. 39-57 | DOI | MR | Zbl

[16] Drinfel’d, V. G. On quasitriangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with Gal( ¯/), Leningrad Math. J., Volume 2 (1991), pp. 829-860 | Zbl

[17] Enriquez, B. Quasi-reflection algebras, multiple polylogarithms at roots of 1, and analogues of the group GT (prépublication arXiv :math.QA/0408035)

[18] Falk, Michael; Randell, Richard Pure braid groups and products of free groups, Braids (Santa Cruz, CA, 1986) (Contemp. Math.), Volume 78, Amer. Math. Soc., 1988, pp. 217-228 | MR | Zbl

[19] Kohno, T. Série de Poincaré-Koszul associée aux groupes de tresses pures, Invent. Math., Volume 82 (1985), pp. 57-76 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[20] Krammer, D. Braid groups are linear, Annals of Math., Volume 155 (2002), pp. 131-156 | DOI | MR | Zbl

[21] Lawrence, R. Homological representations of the Hecke algebras, Commun. Math. Physics, Volume 135 (1990), pp. 141-191 | DOI | MR | Zbl

[22] Lehrer, G.; Xi, N. On the injectivity of the braid group in the Hecke algebra, Bull. Austral. Math. Soc., Volume 64 (2001), pp. 487-493 | DOI | MR | Zbl

[23] Leibman, A.; Markushevich, D. The monodromy of the Brieskorn bundle, Geometric topology (Haifa, 1992), Contemp. Math., Volume 164, Amer. Math. Soc., Providence (1994), pp. 91-117 | MR | Zbl

[24] Li, L. Communication personnelle, décembre 2006

[25] Long, D. D. A note on the normal subgroups of mapping class groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., Volume 99 (1986), pp. 79-87 | DOI | MR | Zbl

[26] Marin, I. On the representation theory of braid groups prépublication arXiv : math.RT/0502118 (v3) | Zbl

[27] Marin, I. Représentations linéaires des tresses infinitésimales, Université Paris XI-Orsay (2001) (Ph. D. Thesis)

[28] Marin, I. Quotients infinitésimaux du groupe de tresses, Ann. Inst. Fourier, Volume 53 (2003), pp. 1323-1364 | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[29] Marin, I. Irréductibilité générique des produits tensoriels de monodromies, Bull. Soc. Math. France, Volume 132 (2004), pp. 201-232 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[30] Marin, I. Monodromie algébrique des groupes d’Artin diédraux, J. Algebra, Volume 303 (2006), pp. 97-132 | DOI | Zbl

[31] Marin, I. On the residual nilpotence of pure Artin groups, J. Group Theory, Volume 9 (2006), pp. 483-485 | DOI | MR | Zbl

[32] Marin, I. L’algèbre de Lie des transpositions, J. Algebra, Volume 310 (2007), pp. 742-774 | DOI | Zbl

[33] Millson, J.J.; Toledano Laredo, V. Casimir operators and monodromy representations of generalised braid groups, Transform. Groups, Volume 10 (2005), pp. 217-254 | DOI | MR | Zbl

[34] Orlik, Peter; Terao, Hiroaki Arrangements of hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 300, Springer-Verlag, Berlin, 1992 | MR | Zbl

[35] Paoluzzi, L.; Paris, L. A note on the Lawrence-Krammer-Bigelow representation, Algebr. Geom. Topol., Volume 2 (2002), pp. 499-518 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[36] Paris, L. Artin groups of spherical type up to isomorphisms, J. Algebra, Volume 281 (2004), pp. 666-678 | DOI | MR | Zbl

[37] Passman, D. S. The algebraic structure of group rings, Wiley, 1977 | MR | Zbl

[38] Platonov, V. P. The Frattini subgroup and finite approximability, Soviet. Math. Dokl., Volume 7 (1966), pp. 1557-1560 | Zbl

[39] Zinno, M. On Krammer’s representations of the braid group, Math. Ann., Volume 321 (2001), pp. 197-211 | DOI | Zbl

Cité par Sources :