Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields
Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049.

Given a smooth family of vector fields satisfying Chow-Hörmander’s condition of step 2 and a regularity assumption, we prove that the Sobolev spaces of fractional order constructed by the standard functional analysis can actually be “computed” with a simple formula involving the sub-riemannian distance.

Our approach relies on a microlocal analysis of translation operators in an anisotropic context. It also involves classical estimates of the heat-kernel associated to the sub-elliptic Laplacian.

Étant donné une famille de champs de vecteurs 𝒵 vérifiant la condition de Chow-Hörmander de rang 2 et une hypothèse de régularité, on montre que les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire construits par les procédés standards de l’analyse fonctionnelle admettent une caractérisation géométrique à l’aide de la distance sous-riemannienne induite par la famille 𝒵. L’approche proposée est basée sur une analyse microlocale des opérateurs de translation dans un contexte anisotrope. Elle utilise aussi des estimations classiques du noyau de la chaleur associé à un Laplacien sous-elliptique.

DOI: 10.5802/aif.2285
Classification: 26A33,  35S05,  43A15,  47G30,  53B99,  93A99
Keywords: functional space, Sobolev space, sub-riemannian distance, sub-elliptic Laplacian, Weyl-Hörmander calculus
Mustapha, Sami 1; Vigneron, François 2

1 Institut de Mathématiques de Jussieu 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
2 Centre de Mathématiques Laurent Schwartz U.M.R. 7640 du C.N.R.S. École Polytechnique 91128 Palaiseau cedex (France)
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Mustapha, Sami; Vigneron, François. Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields. Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049. doi : 10.5802/aif.2285. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2285/

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