Étude d'un problème de continuité lié à l'hypothèse de Riemann  [ A problem of continuity linked to the Riemann hypothesis ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, p. 1373-1410

This work is devoted to a problem linked to the Beurling-Nyman’s criterion about the Riemann hypothesis. We study the continuity of the projection of the characterisitc function of (0,1) on a subspace of the square-integrable functions generated by dilated functions of the fractionnal part function. More generally, if y is a vector belonging to a Hilbert space H, we study the function, which maps any closed and convex subspace C of H to the orthogonal projection of y on C.

Cet article est consacré à l’étude d’un problème lié au critère de Beurling Nyman sur l’hypothèse de Riemann. On y étudie la continuité de la projection de la fonction indicatrice de l’intervalle ]0,1] sur un sous-espace vectoriel variable de l’ensemble des fonctions dont le carré est intégrable sur la demi-droite réelle, engendré par des fonctions dilatées de la fonction partie fractionnaire. Plus généralement, y étant un élément fixé d’un espace de Hilbert H, on étudie l’application qui à un convexe fermé C de H associe la projection orthogonale de y sur C.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2127
Classification:  11M26,  46C05
Keywords: Riemann hypothesis, Beurling-Nyman criterion, dilated functions, continuity, projection 
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     author = {Jousse, Nicolas},
     title = {\'Etude d'un probl\`eme de continuit\'e li\'e \`a l'hypoth\`ese de Riemann},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
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     pages = {1373-1410},
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Jousse, Nicolas. Étude d'un problème de continuité lié à l'hypothèse de Riemann. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, pp. 1373-1410. doi : 10.5802/aif.2127. http://www.numdam.org/item/AIF_2005__55_4_1373_0/

[1] A. De Roton Généralisation du critère de Beurling-Nyman à  la classe de Selberg (2003) (thèse de doctorat, Université de Bordeaux 1)

[2] J.M Arnaudiès; H. Fraysse Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre, Dunod (1994)

[3] M. Balazard; M.A. Bennett Et Al. Completeness problems and the Riemann hypothesis: an annotated bibliography, A K Peters, Boston (Number Theory for the Millenium, Proc. Millenial Conf. Number Theory (Urbana, IL, 2000)) (2002), pp. 21-48 | Zbl 1044.11083

[4] L. Báez-Duarte; M. Balazard; B. Landreau; E. Saias Étude de l'autocorrélation multiplicative de la fonction ``partie fractionnaire'' (à  paraître au Ramanujan Journal) | Zbl 1173.11343

[5] L. Báez-Duarte; M. Balazard; B. Landreau; E. Saias Notes sur la fonction ζ de Riemann 3, Advances in Mathematics, Tome 149 (2000), pp. 130-144 | Article | MR 1742356 | Zbl 1008.11032

[6] M. Balazard; E. Saias The Nyman-Beurling equivalent form for the Riemann Hypothesis, Exp. Math., Tome 18 (2000), pp. 131-138 | MR 1759315 | Zbl 0954.11029

[7] F. Deutsch Best approximations in inner product spaces, Springer (2001) | MR 1823556 | Zbl 0980.41025

[8] M. Engert Finite dimensional translation invariant subspaces, Pacific J. Math., Tome 32 (1970), pp. 333-343 | MR 274660 | Zbl 0189.43102

[9] E. Hewitt; K.A. Ross Abstract harmonic analysis I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tome 115 (1963) no. Springer | Zbl 0115.10603

[10] B. Landreau; F. Richard Le critère de Beurling et Nyman pour l'hypothèse de Riemann : aspects numériques, Experimental Mathematics, Tome 11 (2002), pp. 349-360 | MR 1959747 | Zbl 05032272

[11] B. Nyman On some groups and semigroups of translations (1950) (thèse, Uppsala)

[12] W. Rudin Analyse réelle et complexe, Masson (1975) | MR 389461 | Zbl 0333.28001

[13] W. Rudin Fourier analysis on groups, Interscience Publishers (1962) | MR 152834 | Zbl 0107.09603

[14] L. Schwartz Analyse hilbertienne, Hermann (1979) | MR 552779 | Zbl 0414.46017

[15] G. Tenenbaum Introduction à  la théorie analytique et probabiliste des nombres, Société Mathématique de France, Cours spécialisés n° 1 (1995) | MR 1366197 | Zbl 0880.11001

[16] C. Tisseron Notions de topologie. Introduction aux espaces fonctionnels, Hermann (1996) | Zbl 0666.46002