Finiteness property for generalized abelian integrals
[Propriété de finitude d'intégrales abéliennes généralisées]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 3, pp. 767-785.

Cette étude porte sur les intégrales de fonctions réelles qui sont des composées finies d'applications sous-analytiques globales et de fonctions puissances à exposants réels. Ces dernières possèdent des propriétés de finitude semblables à celles des fonctions sous- analytiques. Nous montrons que pour presque toutes valeurs des exposants intervenant dans la définition d'une telle fonction, son intégrale sur les fibres d'une fonction du même type est non-oscillante. Ce résultat peut se voir comme une généralisation des théorèmes de finitude des zéros des intégrales abéliennes de Varchenko et Khovanskii.

We study the integrals of real functions which are finite compositions of globally subanalytic maps and real power functions. These functions have finiteness properties very similar to those of subanalytic functions. Our aim is to investigate how such finiteness properties can remain when taking the integrals of such functions. The main result is that for almost all power maps arising in a x λ -function, its integration leads to a non-oscillating function. This can be seen as a generalization of Varchenko and Khovanskii’s finiteness theorems for abelian integrals.

DOI : 10.5802/aif.1959
Classification : 32B15, 32B20
Keywords: abelian integrals, preparation theorem, o-minimal structures, diophantine conditions
Mot clés : intégrales abéliennes, théorème de préparation, structrures o-minimales, conditions diophantiennes
Soufflet, Rémi 1

1 Institute of Mathematics UJ, ul. Reymonta 4, 30-059 Kraków (Pologne)
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Soufflet, Rémi. Finiteness property for generalized abelian integrals. Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 3, pp. 767-785. doi : 10.5802/aif.1959. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1959/

[Ar] V. Arnold Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Mir (1980) | MR | Zbl

[BCR] J. Bochnak; M. Coste; F. Roy Géométrie algébrique réelle, Springer-Verlag, 1987 | MR | Zbl

[BG] M. Berger; B. Gostiaux Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, Presses Universitaires de France, 1987 | MR | Zbl

[BM] E. Bierstone; P. Milman Semianalytic and subanalytic sets, Publ. Math. IHES, Volume 67 (1988), pp. 5-42 | Numdam | MR | Zbl

[BR] R. Benedetti; J.-J. Risler Real algebraic and semialgebraic sets, Hermann, 1990 | MR | Zbl

[CY] G. Comte; Y. Yomdin A course on metric properties of algebraic sets (2000) (preprint)

[DM] L. van den Dries; C. Miller Geometric categories and o-minimal structure, Duke Math. J, Volume 84 (1996) no. 2 | DOI | MR | Zbl

[DMM] L. van den Dries; A. Macintyre; D. Marker The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation, Ann. of Maths, Volume 140 (1994), pp. 183-205 | DOI | MR | Zbl

[Du] H. Dulac Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. Fr, Volume 51 (1923), pp. 45-188 | JFM | Numdam | MR

[Ga] A.M. Gabrielov Projections of semi-analytic sets, Funct. Anal. Appl, Volume 2 (1968), pp. 282-291 | DOI | MR | Zbl

[GS] D.Y. Grigoriev; M.F. Singer Solving ordinary differential equations in terms of series with real exponents, Transactions Amer. Math. Soc, Volume 327 (1991) no. 1, pp. 329-351 | DOI | MR | Zbl

[Kh1] A.G. Khovanskii Real analytic varieties with the finitness property and complex abelian integrals, Funct. Anal. and Appl, Volume 18 (1984), pp. 119-127 | DOI | MR | Zbl

[Kh2] A.G. Khovanskii Fewnomials, mathematical monographs, 88, A.M.S., 1991 | MR | Zbl

[Lo] S. Łojasiewicz On semianalytic and subanalytic geometry, Banach Center Publication, Volume 34 (1995), pp. 89-104 | Zbl

[LR1] J.-M. Lion; J.-P. Rolin Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentielles, Ann. Inst. Fourier, Volume 47 (1997) no. 3, pp. 859-884 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[LR2] J.-M. Lion; J.-P. Rolin Intégration des fonctions sous-analytiques et volume des sous-analytiques, Ann. Inst. Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 755-767 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[Mi] C. Miller Expansions of the real field with power functions, Ann. Pure Appl. Logic, Volume 68 (1994) | MR | Zbl

[Mo] R. Moussu Le problème de la finitude du nombre de cycles limites, Séminaire Bourbaki (1985) (Astérisque), Volume 655 (1987), pp. 145-146 | Numdam | Zbl

[MR] R. Moussu; C. Roche Théorie de Hovanskii et problème de Dulac, Invent. Math, Volume 105 (1991) no. 2, pp. 431-441 | DOI | MR | Zbl

[Pa] A. Parusiński Lipschitz stratification of subanalytic sets, Ann. Scient. École Normale Supérieure, 4e série, Volume 27 (1994), pp. 661-696 | Numdam | MR | Zbl

[Sa] M. Saavedra Développement asymptotique de la fonction période, CRAS, Volume 319 (1994), pp. 563-566 | MR | Zbl

[So1] R. Soufflet Propriétés oscillatoires des intégrales de \x-fonctions, CRAS, Volume 333 (2001), pp. 461-464 | MR | Zbl

[So2] R. Soufflet Asymptotic expansions of logarithmic-exponential functions, Bull. Braz. Math. Soc., New Series, Volume 33 (2002) no. 1, pp. 125-146 | MR | Zbl

[Ta] A. Tarski A decision method for elementary algebra and geometry, University of California Press, Berkeley and Los Angeles, Calif., 1951 | MR | Zbl

[To] J.-C. Tougeron Paramétrisations de petits chemins en géométrie analytique réelle, Singularities and differential equations. Proceedings of a symposium, Warsaw, Volume 33 (1996), pp. 421-436 | Zbl

[Va] A.N. Varchenko Estimate of the number of zeros of an abelian integral depending an a parameter and limit cycles, Funct. Anal. and Appl, Volume 18 (1984), pp. 98-107 | DOI | MR | Zbl

[Wi] A.J. Wilkie Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc, Volume 9 (1996) no. 4, pp. 1051-1094 | DOI | MR | Zbl

[Yo] Y. Yomdin Metric properties of semialgebraic sets and mappings and their applications in smooth analysis, Géométrie réelle, Systèmes différentiels et théorie de Hodge. Travaux en cours, Volume 24 | Zbl

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