Let be a real abelian number field, a prime number which does not divide and the -extension of . This paper uses a conjecture of J. Coates and S. Lichtenbaum (or for an analogous conjecture which is stated and discussed) to study the decomposition, with respect to the action of the Galois group of , of the -part of the analytical formula for the class number of any layer of . For this purpose, let be a -adic irreducible character, then we prove a formula about the -part of the quotient of the group of semi-local units be a subgroup deduced from the group of cyclotomic units.
Soient un corps abélien réel, un nombre premier, premier au degré de . Cet article utilise une conjecture de J. Coates et S. Lichtenbaum (ou une conjecture analogue pour , qu’il énonce et discute) pour étudier, pour chaque étage de la -extension de , la décomposition de la -partie de la formule analytique du nombre de classes suivant l’action du groupe de Galois de . Pour cela, est établie une formule sur la -composante (-caractère -adique irréductible) du quotient du groupe des unités semi-locales par un sous-groupe déduit de celui des unités cyclotomiques.
@article{AIF_1979__29_1_49_0, author = {Gillard, Roland}, title = {Unit\'es cyclotomiques, unit\'es semi-locales et ${\mathbb {Z}}_\ell $-extensions}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {49--79}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {29}, number = {1}, year = {1979}, doi = {10.5802/aif.727}, mrnumber = {81e:12005a}, zbl = {0387.12002}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.727/} }
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Gillard, Roland. Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ${\mathbb {Z}}_\ell $-extensions. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 49-79. doi : 10.5802/aif.727. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.727/
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