Signature des unités cyclotomiques et parité du nombre de classes des extensions cycliques de $𝐐$ de degré premier impair

Gras, Georges; Gras, Marie-Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 1-22.

Si $K$ est une extension abélienne de $\mathbf{Q}$ de degré impair, l’étude du 2-groupe des classes (au sens ordinaire) de $K$ (et même celle de la parité du nombre de classes $h$ de $K$) est non triviale, et les algorithmes connus ne dépassent guère le cas $[K:\mathbf{Q}]=3$.

L’expression analytique de $h$ s’interprète à l’aide d’indices convenables de groupes d’unités cyclotomiques (Hasse et Leopoldt) ; ce dernier point de vue permet une caractérisation de la parité de $h$, en fonction de l’existence d’unités cyclotomiques totalement positives et vérifiant les congruences de Kummer. Le dernier stade, important, résulte alors du fait que ces propriétés congruentielles des unités cyclotomiques ne dépendent que de la signature de ces mêmes unités. Ainsi, la parité de $h$ est-elle caractérisée simplement par les signatures des unités cyclotomiques qui se calculent facilement dans la pratique. Des exemples numériques ont été obtenus.

If $K$ is an abelian extension of odd degree of $\mathbf{Q}$, the study of the 2-class group (in the usual sense) of $K$ (and even the study of the parity of the class number $h$ of $K$) is difficult and the algorithms which are knowned concern principally the case $[K:\mathbf{Q}]=3$.

The analytic expression of $h$ is interpreted with the help of suitable indexes of groups of cyclotomic units (Hasse and Leopoldt); this last view allows a characterisation of the parity of $h$, in connexion with the existence of totally positive cyclotomic units which satisfy the Kummer’s congruences. The last important step results in the fact that this congruential properties of the cyclotomic units depend only of the signature of these units. So, the parity of $h$ is simply characterised by the signatures of the cyclotomic units which are easy to calculate in the practice. Numerical examples are obtained.

[1] N. Adachi, On the class number of an absolutely cyclic number field of prime degree, Proc. Japan Acad., 45 (1969). | MR | Zbl

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[3] C. Curtis et I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience Pub., vol. XI (1962). | MR | Zbl

[4] M.N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, J. für die reine und Angew. Math. (à paraître). | Zbl

[5] H. Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörpern, chap, I et II, Berlin (1952). | Zbl

[6] E. Hecke, Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen, Chelsea Pub. Co., (1948). | Zbl

[7] D. Hilbert, Théorie des corps de nombres algébriques, trad. de T. Got et A. Levy, Hermann (1913).

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[9] J.J. Payan, Contribution à l'étude des corps abéliens absolus de degré premier impair, Annales de l'Institut Fourier (1965), 133-199. | Numdam | MR | Zbl