Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann
Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 121-155.

We prove that the category of von Neumann algebras is equivalent to the category of self dual facially homogeneous complex cones where a cone in a real Hilbert space E is called: 1) facially homogeneous when for each face F of the operator δ= (Projection on F-F) - (Projection on F -F ) is a derivation of (i.e. e tδ =tR) ; 2) complex when one has given a complex Lie algebra structure on the real Lie algebra of derivations of , modulo its center. We show that an ordered space M, M + is underlying a von Neumann algebra M if and only if for some self dual scalar product s on M the completion of M + is facially homogeneous and complex.

Nous démontrons que la catégorie de von Neumann est équivalente à la catégorie des cônes autopolaires, facialement homogènes, complexes. Un cône dans un espace hilbertien réel est dit : 1) facialement homogène quand pour toute face F de l’opérateur δ= (Projection sur F-F) - (Projection sur F -F ) est une dérivation de (i.e. e tδ =tR) ; 2) complexe quand on s’est donné une structure d’algèbre de Lie complexe sur l’algèbre de Lie réelle des dérivations de , modulo son centre. Nous caractérisons les espaces vectoriels ordonnés M, M + sous-jacents aux algèbres de von Neumann par l’existence d’une forme autopolaire s sur M telle que le complété de M + soit facialement homogène et complexe.

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Connes, Alain. Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 121-155. doi : 10.5802/aif.534. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.534/

[1]H. Araki, Some properties of modular conjugation operator of von Neumann algebras and a non commutative Radon Nikodym theorem (à paraître). | Zbl

[2]H. Brézis, Opérateurs maximaux monotones et semi groupes de contractions dans les espaces de hilbert, Amst. North Holland, Pub. 1973. | MR | Zbl

[3]A. Connes, Groupe modulaire d'une algèbre de Von Neumann, C. R. Acad. Sci., t. 274, série A (1972), 523-526. | MR | Zbl

[4]A. Connes, Une classification des facteurs de type III, Annales Sci. de l'École Normale Supérieure, 4e série, t. 6 (1973), 133-252. | Numdam | MR | Zbl

[5]A. Connes et A. Van Daele, The Group property of the invariant S (à paraître dans Math. Scand.). | Zbl

[6]J. Dixmier et O. Marechal, Vecteurs totalisateurs dans les algèbres de von Neumann, Commun. Math. Phys., 22 (1972). | Zbl

[7]R. V. Kadison, Isometries of operator algebras, Ann. Math., Princeton, 54 (1951), 325. | MR | Zbl

[8]S. Sakai, The absolute value of W* algebras of finite type, Tohoku Math. J., 8 (1956), 70. | MR | Zbl

[9]S. Sakai, C* and W* algebras, Ergebnisse der Mathematik und iher grenzbiete, Bd 60. | Zbl

[10]M. Takesaki, Tomita's theory of modulas Hilbert algebras and its applications, Lectures notes in Math. n° 128, Berlin Springer, 1970. | MR | Zbl

[11]S. L. Woronowicz, On the purification of factor states, Commun. Math. Phys., 28 (1972), 221. | MR | Zbl

Cited by Sources: