We prove that the category of von Neumann algebras is equivalent to the category of self dual facially homogeneous complex cones where a cone in a real Hilbert space is called: 1) facially homogeneous when for each face of the operator (Projection on ) (Projection on ) is a derivation of (i.e. ) ; 2) complex when one has given a complex Lie algebra structure on the real Lie algebra of derivations of , modulo its center. We show that an ordered space , is underlying a von Neumann algebra if and only if for some self dual scalar product on the completion of is facially homogeneous and complex.
Nous démontrons que la catégorie de von Neumann est équivalente à la catégorie des cônes autopolaires, facialement homogènes, complexes. Un cône dans un espace hilbertien réel est dit : 1) facialement homogène quand pour toute face de l’opérateur (Projection sur ) (Projection sur ) est une dérivation de (i.e. ) ; 2) complexe quand on s’est donné une structure d’algèbre de Lie complexe sur l’algèbre de Lie réelle des dérivations de , modulo son centre. Nous caractérisons les espaces vectoriels ordonnés , sous-jacents aux algèbres de von Neumann par l’existence d’une forme autopolaire sur telle que le complété de soit facialement homogène et complexe.
@article{AIF_1974__24_4_121_0, author = {Connes, Alain}, title = {Caract\'erisation des espaces vectoriels ordonn\'es sous-jacents aux alg\`ebres de von {Neumann}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {121--155}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {24}, number = {4}, year = {1974}, doi = {10.5802/aif.534}, mrnumber = {51 #13705}, zbl = {0287.46078}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.534/} }
TY - JOUR AU - Connes, Alain TI - Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1974 SP - 121 EP - 155 VL - 24 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.534/ DO - 10.5802/aif.534 LA - fr ID - AIF_1974__24_4_121_0 ER -
%0 Journal Article %A Connes, Alain %T Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann %J Annales de l'Institut Fourier %D 1974 %P 121-155 %V 24 %N 4 %I Institut Fourier %C Grenoble %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.534/ %R 10.5802/aif.534 %G fr %F AIF_1974__24_4_121_0
Connes, Alain. Caractérisation des espaces vectoriels ordonnés sous-jacents aux algèbres de von Neumann. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 121-155. doi : 10.5802/aif.534. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.534/
[1]Some properties of modular conjugation operator of von Neumann algebras and a non commutative Radon Nikodym theorem (à paraître). | Zbl
,[2]Opérateurs maximaux monotones et semi groupes de contractions dans les espaces de hilbert, Amst. North Holland, Pub. 1973. | MR | Zbl
,[3]Groupe modulaire d'une algèbre de Von Neumann, C. R. Acad. Sci., t. 274, série A (1972), 523-526. | MR | Zbl
,[4]Une classification des facteurs de type III, Annales Sci. de l'École Normale Supérieure, 4e série, t. 6 (1973), 133-252. | Numdam | MR | Zbl
,[5]The Group property of the invariant S (à paraître dans Math. Scand.). | Zbl
et ,[6]Vecteurs totalisateurs dans les algèbres de von Neumann, Commun. Math. Phys., 22 (1972). | Zbl
et ,[7]Isometries of operator algebras, Ann. Math., Princeton, 54 (1951), 325. | MR | Zbl
,[8]The absolute value of W* algebras of finite type, Tohoku Math. J., 8 (1956), 70. | MR | Zbl
,[9]C* and W* algebras, Ergebnisse der Mathematik und iher grenzbiete, Bd 60. | Zbl
,[10]Tomita's theory of modulas Hilbert algebras and its applications, Lectures notes in Math. n° 128, Berlin Springer, 1970. | MR | Zbl
,[11]On the purification of factor states, Commun. Math. Phys., 28 (1972), 221. | MR | Zbl
,Cited by Sources: