Topological countability in Brelot potential theory

Armstrong, Thomas E.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 3, pp. 15-36.

Soit $U$ un domaine de type $H$ dans une théorie du potentiel de Brelot. Un compact $K$ de $U$ est un $G_{\delta }$ dans $U$ si et seulement si $U-K$ a au plus une infinité dénombrable de composantes. Si $F$ est un sous-ensemble relativement fermé localement polaire de $U$, tout $G_{\delta }$ de $F$ est un $G_{\delta }$ de $U$. Si $V$ est un domaine dans $U$, tous les boréliens de $\partial V\cap U$ sont de Baire même si $\partial V\cap U$ n’est pas métrisable. Les résultats connus concernant les équivalences entre effilement faible, effilement et effilement fort d’un ensemble $A$ en un point $x\notin A$ sont étendus au cas où $\left\{x\right\}$ est un $G_{\delta }$ aux cas où $A$ rencontre seulement une infinité dénombrable de composantes de $U-\left\{x\right\}$ ou est $K$-analytique.

Let $U$ be a domain of type $H$ in a Brelot potential theory. A compact $K$ in $U$ is a $G_{\delta }$ in $U$ iff $U-K$ has at most countably many components. If $F$ is a relatively closed locally polar subset of $U$, any $G_{\delta }$ in $F$ is a $G_{\delta }$ in $U$. If $V$ is a domain in $U$, all Borel subsets of $\partial V\cap U$ are Baire even if $\partial V\cap U$ is not metrizable. The known results concerning equivalences between weak thinness, thinness, and strong thinness of a set $A$ at a point $x\notin A$ are extended from the case where $\left\{x\right\}$ is a $G_{\delta }$ to the cases in which $A$ meets only countably many components of $U-\left\{x\right\}$ or is $K$-analytic.

[1] H. Bauer, Propriétés Fines des Fonctions Hyperharmoniques dans une Theorie Axiomatique du Potential, Ann. Inst. Fourier, 15, 1 (1965), 137-154. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[2] N. Boboc, C. Constantinescu, A. Cornea, Axiomatic Theory of Harmonic Functions, Balayage, Ann. Inst. Fourier 15, 2 (1965), 37-70. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Lectures on Potential Theory. Bombay, Tata Inst. 1960. | MR | Zbl

[4] M. Brelot, Axiomatique des Fonctions Harmonique, Les Presses de l'Université de Montréal, Montreal, 1966. | Zbl

[5] M. Brelot, On Topologies and Boundaries in Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. | MR | Zbl

[6] C. Constantinescu, A Topology on the Cone of Non-negative Super-harmonic Functions, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 10 (1965), 1331-1348. | MR | Zbl

[7] C. Constantinescu and A. Cornea, On the Axiomatic of Harmonic Functions, I, Ann. Inst. Fourier, 13, 2 (1963), 373-388. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[8] C. Constantinescu and A. Cornea, Potential Theory on Harmonic Spaces. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1972. | MR | Zbl

[9] A. Cornea, Sur la dénombrabilité à l'infini d'un espace harmonique de Brelot, C.R. Acad. Sci. Paris, A 264, (1967), 190-191. | MR | Zbl

[10] R.M. Herve, Recherches Axiomatiques sur la Théorie des Fonctions Surharmoniques et du Potential, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[11] J. Kohn, Die Harnacksche Metrik in der Theorie der Harmonischen Funktionen, Math. Zeitschr., 91 (1966), 50-64. | MR | Zbl

[12] P. Loeb and B. Walsh, The Equivalence of Harnack's Principle and Harnack's Inequality in the Axiomatic System of Brelot, Ann. Inst. Fourier, 15, 2 (1965), 597-600. | Numdam | MR | Zbl

[13] G. Mokobodski, Representations Intégrales des Fonctions Harmoniques et Surharmoniques, Unpublished.