Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris
Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, p. 85-130
Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.
Given a transition probability P=(P(x,A);xE,A𝒜) on a separable measurable space (E,), we study minorations of the formUh(x,dy)a(x)m(dy)for the potential operators U h = N (PM 1-h ) n P, where h denotes a measurable function from E to (0,1) and where M k is the multiplication operator by k. We show for instance that if P verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive h for which U h 1μ, where μ is the P-invariant measure. This result allows us 1) to define positive σ-finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.
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Neveu, Jacques. Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 85-130. doi : 10.5802/aif.414. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_2_85_0/

[1] A. Brunel, Chaînes abstraites de Markov vérifiant une condition de Orey, à paraître. | Zbl 0203.50305

[2] M. Duflo, Opérateurs potentiels des chaînes et des processus de Markov irréductibles, Bull. Soc. Math., 98 (1970), 127-163. | Numdam | MR 41 #9349 | Zbl 0205.44803

[3] S. Foguel, Ergodic theory of Markov process, Van Nostrand, (1970).

[4] T. E. Harris, The existence of stationary measures for certain Markov processes, Third Berkeley Symp. Math Stat., Proba. II (1956), 113-124. | MR 18,941d | Zbl 0072.35201

[5] S. Horowicz, Transitions probabilities and Contractions of L∞ (à paraître).

[6] G. A. Hunt, La théorie du potentiel et les processus récurrents. Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 3-12. | Numdam | MR 32 #4738 | Zbl 0141.15602

[7] N. Jain et B. Jamison, Contributions to Doeblin's theory of Markov processes, Z. für Wahrsch., 8 (1967), 19-40. | MR 36 #4643 | Zbl 0201.50404

[8] M. Metivier, Existence of an invariant measure and an Ornstein ergodic Theorem., Ann. Math. Stat., 40 (1969), 79-96. | MR 39 #3579 | Zbl 0214.17102

[9] P. A. Meyer, Équation de Poisson. Séminaire de Strasbourg, 1969-1970.

[10] J. Neveu, Potentiel markovien discret, Ann. Fac. Sc. Clermont, 24 (1964), 37-89.

[11] J. Neveu, Bases Mathématiques des Probabilités, Masson, 2e édition (1970). | MR 42 #6885 | Zbl 0203.49901

[12] J. Neveu, Potentiel markovien récurrent pour une chaîne de Harris, C.R. Acad. Sci. Paris, 272 (1971), 270-272. | MR 43 #4115 | Zbl 0215.25804

[13] S. Orey, Lecture notes for Markov chain transition probability functions. Univ. of Minnesota, Minneapolis (1968) 92 p. | Zbl 0295.60054