Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris

Neveu, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 2, pp. 85-130.

Given a transition probability $P=\left(P\right(x,A);x\in E,A\in 𝒜)$ on a separable measurable space $(E,)$, we study minorations of the form

$$U_h(x,dy)\ge a\left(x\right)m\left(dy\right)$$

for the potential operators $U_h={\sum }_{\mathbf{N}}(P{M}_{1-h}{)}^{n}P$, where $h$ denotes a measurable function from $E$ to $(0,1)$ and where $M_k$ is the multiplication operator by $k$. We show for instance that if $P$ verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive $h$ for which $U_h\ge 1\otimes \mu$, where $\mu$ is the $P$-invariant measure. This result allows us 1) to define positive $\sigma$-finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.

Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.

[1] A. Brunel, Chaînes abstraites de Markov vérifiant une condition de Orey, à paraître. | Zbl

[2] M. Duflo, Opérateurs potentiels des chaînes et des processus de Markov irréductibles, Bull. Soc. Math., 98 (1970), 127-163. | Numdam | MR | Zbl

[3] S. Foguel, Ergodic theory of Markov process, Van Nostrand, (1970).

[4] T. E. Harris, The existence of stationary measures for certain Markov processes, Third Berkeley Symp. Math Stat., Proba. II (1956), 113-124. | MR | Zbl

[5] S. Horowicz, Transitions probabilities and Contractions of L∞ (à paraître).

[6] G. A. Hunt, La théorie du potentiel et les processus récurrents. Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 3-12. | Numdam | MR | Zbl

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[8] M. Metivier, Existence of an invariant measure and an Ornstein ergodic Theorem., Ann. Math. Stat., 40 (1969), 79-96. | MR | Zbl

[9] P. A. Meyer, Équation de Poisson. Séminaire de Strasbourg, 1969-1970.

[10] J. Neveu, Potentiel markovien discret, Ann. Fac. Sc. Clermont, 24 (1964), 37-89.

[11] J. Neveu, Bases Mathématiques des Probabilités, Masson, 2e édition (1970). | MR | Zbl

[12] J. Neveu, Potentiel markovien récurrent pour une chaîne de Harris, C.R. Acad. Sci. Paris, 272 (1971), 270-272. | MR | Zbl

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