Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace A(X)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 1, p. 1-66

In this paper, we study, on the set 𝒮(X) of the extremal points of a compact convex set X, facial topologies for which closed sets are the intersection with 𝒮(X) of “parallel” faces (there exists a greatest face F disjoint of F, and, for every x in X, x=λy+(1-λ)y ,yF,y F , with λ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space A(X) of the affine continuous functions on X. This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of A(X).

Every function f of A(X) which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of f (ψ(f)=ψ(λ)de λ for ψ universally measurable on the “spectrum” of f). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set X; for example, if u has an extension to (X) which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function f.

Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.

Cet article étudie, sur l’ensemble 𝒮(X) des points extrémaux d’un convexe compact X, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces F “parallélisables” (il existe une plus grande face F disjointe de F, et tout x de X s’écrit x=λy+(1-λ)y ,yF,y F , avec λ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace A(X) des fonctions affines continues sur X. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de A(X).

Toute fonction f de A(X) continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de f (ψ(f)=ψ(λ)de λ pour ψ universellement mesurable sur le “spectre” de f). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact X ; en particulier, si u est universellement mesurable sur 𝒮(X) pour la topologie faciale la moins fine rendant f continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de f.

Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.

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Rogalski, Marc. Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 1, pp. 1-66. doi : 10.5802/aif.401. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_1_1_0/

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