Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace A(X)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, p. 1-66
Cet article étudie, sur l’ensemble 𝒮(X) des points extrémaux d’un convexe compact X, des topologies faciales dont les fermés sont les traces de faces F “parallélisables” (il existe une plus grande face F disjointe de F, et tout x de X s’écrit x=λy+(1-λ)y ,yF,y F , avec λ unique). Les topologies faciales uniformisables sont en bijection avec les sous-espaces réticulés fermés et contenant 1 de l’espace A(X) des fonctions affines continues sur X. Ceci redonne des résultats classiques sur les simplexes, et permet une étude géométrique des sous-espaces réticulés de A(X).Toute fonction f de A(X) continue pour une topologie faciale admet un calcul fonctionnel utilisant une décomposition spectrale de f (ψ(f)=ψ(λ)de λ pour ψ universellement mesurable sur le “spectre” de f). Toutes les notions classiques de théorie spectrale ont une interprétation géométrique sur le convexe compact X ; en particulier, si u est universellement mesurable sur 𝒮(X) pour la topologie faciale la moins fine rendant f continue, elle possède un prolongement vérifiant le calcul barycentrique et “approchable” au moyen de f.Enfin, une décomposition spectrale subsiste pour une fonction semi-continue inférieurement pour une topologie faciale, avec interprétation géométrique des notions de théorie spectrale.
In this paper, we study, on the set 𝒮(X) of the extremal points of a compact convex set X, facial topologies for which closed sets are the intersection with 𝒮(X) of “parallel” faces (there exists a greatest face F disjoint of F, and, for every x in X, x=λy+(1-λ)y ,yF,y F , with λ unique). There exists a bijection between the uniformizable facial topologies and the closed sub-lattices containing 1 of the space A(X) of the affine continuous functions on X. This gives classical results on simplexes, and permits a geometrical study of the sub-lattices of A(X).Every function f of A(X) which is continuous for a facial topology has a functional calculus which uses a spectral decomposition of f (ψ(f)=ψ(λ)de λ for ψ universally measurable on the “spectrum” of f). All the classical concepts of spectral theory have a geometrical interpretation on the compact convex set X; for example, if u has an extension to (X) which verifies the barycenter calculus, and is “approximable” by using the function f.Such a spectral decomposition exists also for a lower semi-continuous function for a facial topology, with geometrical interpretation of the concepts of spectral theory.
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Rogalski, Marc. Topologies faciales dans les convexes compacts. Calcul fonctionnel et décomposition spectrale dans le centre d’un espace $A(X)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 1, pp. 1-66. doi : 10.5802/aif.401. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_1_1_0/

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