Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel
Annales de l'Institut Fourier, Volume 12 (1962), p. 415-571
Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot.Dans un espace Ω localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le 3e est une propriété de convergence par croissance, qui, pour certaines questions, est renforcée en une propriété du type de Harnack.Les fonctions surharmoniques sont alors définies comme dans le cas classique, à l’aide des domaines réguliers et de la solution du problème de Dirichlet correspondant. Soit S + l’ensemble des fonctions surharmoniques 0 dans Ω ; on suppose qu’il existe au moins une fonction S + , non harmonique dans Ω.Une première partie de ces recherches est centrée sur un théorème de partition, permettant de décomposer toute fonction S + en deux autres, dont l’une est harmonique dans un ouvert ω donné et l’autre harmonique dans le complémentaire de ω ¯. Ce théorème est le point de départ de la représentation intégrale des fonctions S + , que l’on effectue en appliquant la théorie de G. Choquet sur les représentations intégrales, dans les cônes convexes, à l’aide des points extrémaux. On définit, pour cela, une topologie sur S + , rendant ce cône métrisable et localement compact.Une autre partie de ces recherches définit et étudie, sous des hypothèses un peu plus restreintes, les fonctions harmoniques adjointes à un système donné de fonctions harmoniques, généralisant les solutions de l’équation adjointe à une équation aux dérivées partielles du second ordre, de type elliptique : Lu=0.Le dernier chapitre est consacré à l’étude des fonctions harmoniques, et harmoniques adjointes, associées à l’équation Lu=0.
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Hervé, Rose-Marie. Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel. Annales de l'Institut Fourier, Volume 12 (1962) pp. 415-571. doi : 10.5802/aif.125. http://www.numdam.org/item/AIF_1962__12__415_0/

[0] H. Bauer, Une axiomatique du problème de Dirichlet pour certaines équations elliptiques et paraboliques. C. R. Acad. Sc., Paris, 250, 1960, pp. 2672-2674 (60). | MR 24 #A252 | Zbl 0095.07801

[1] M. Brelot, Étude de l'équation Δu = cu, c ≥ 0, au voisinage d'un point singulier de c. Ann. Ec. Norm. Sup., 48, 1931, pp. 153-246. | JFM 57.0564.04 | Numdam | Zbl 0002.25902

[2] M. Brelot, Sur l'allure des intégrales bornées de Δu = cu, c ≥ 0, au voisinage d'un point singulier de c. Bull. Sc. Math., 60, 1936, pp. 112-128. | JFM 62.0559.01 | Zbl 0014.02102

[3] M. Brelot, Familles de Perron et problème de Dirichlet. Acta Szeged, 9, 1939, pp. 133-153. | JFM 65.0418.03 | MR 1,121d | Zbl 0023.23302

[4] M. Brelot, Sur les ensembles effilés. Bull. Sc. Math., 68, 1944, pp. 12-36. | MR 7,15e | Zbl 0028.36201

[5] M. Brelot, Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques. Ann. Ec. Norm. Sup., 61, 1944, pp. 301-332. | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[6] M. Brelot, Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités. Journal de Math., 24, 1945, pp. 1-32. | MR 7,521e | Zbl 0061.22802

[7] M. Brelot, Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes. Bull. Soc. Math. France, 73, 1945, pp. 55-70. | Numdam | MR 7,205a | Zbl 0061.22804

[8] M. Brelot, Le problème de Dirichlet ramifié. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 167-200. | Numdam | MR 8,581c | Zbl 0061.22902

[9] M. Brelot, Étude générale des fonctions harmoniques ou surharmoniques positives au voisinage d'un point-frontière irrégulier. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 205-219. | Numdam | MR 8,581d | Zbl 0061.22805

[10] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la notion de source pour l'équation Δu = cu. Ann. Univ. Lyon, 11, 1948, pp. 9-19. | MR 10,540a | Zbl 0045.20702

[11] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de Martin. Ann. Univ. Grenoble, 23, 1948, pp. 113-138. | Numdam | MR 10,192b | Zbl 0030.25601

[12] M. Brelot, Quelques propriétés et applications du balayage. C. R. Acad. Sc., Paris, 227, 1948, p. 19. | MR 10,116f | Zbl 0038.26203

[13] M. Brelot, La théorie moderne du potentiel. Ann. Inst. Fourier, 4, 1952, p.p 113-140. | Numdam | MR 15,527a | Zbl 0055.08903

[14] M. Brelot, Le problème de Dirichlet. Axiomatique et frontière de Martin. Journal de Math., 35, 1956, pp. 297-335. | MR 20 #6607 | Zbl 0071.10001

[15] M. Brelot, Axiomatique du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts. Séminaire de Théorie du potentiel, 1957, Inst. H. Poincaré. | Numdam

[16] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact. Séminaire de Théorie du potentiel, 1958, Inst. H. Poincaré. | Numdam

[17] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel. Paris, C.D.U. 1959. | MR 21 #5099 | Zbl 0084.30903

[18] M. Brelot, Lectures on potential theory. Bombay, Tata Inst., 1960, (Collection Math. n° 19.) | MR 22 #9749 | Zbl 0098.06903

[19] M. Brelot, Sur un théorème de prolongement fonctionnel de Keldych concernant le problème de Dirichlet, Journal d'Analyse Math., 8, 1960-1961, pp. 273-288. | MR 23 #A2549 | Zbl 0111.09604

[20] M. Brelot, Introduction axiomatique de l'effilement. A paraître aux Annali di Matematica, 57, 1962. | MR 25 #3187 | Zbl 0119.08902

[21] M. Brelot et G. Choquet, Espaces et lignes de Green. Ann. Inst. Fourier, 3, 1951, pp. 199-263. | Numdam | MR 16,34e | Zbl 0046.32701

[22] M. Brelot et G. Choquet, Le théorème de convergence en théorie du potentiel. Journal Madras Univ., 27, 1957, pp. 277-286. | MR 19,261b | Zbl 0086.30501

[23] M. Brelot et R. M. Hervé, Introduction de l'éffilement dans une théorie axiomatique du potentiel. C. R. Acad. Sc., Paris, 247, 1958, pp. 1956-1959. | MR 21 #5096 | Zbl 0098.07001

[24] H. Cartan, Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels. Bull. Soc. Math. France, 73, 1945, pp. 74-106. | Numdam | MR 7,447h | Zbl 0061.22609

[25] H. Cartan, Théorie générale du balayage en potentiel newtonien. Ann. Univ. Grenoble, 22, 1946, pp. 221-280. | Numdam | MR 8,581e | Zbl 0061.22701

[26] G. Choquet, Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier, 5, 1954, pp. 131-295. | Numdam | MR 18,295g | Zbl 0064.35101

[27] G. Choquet, Unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes réticulés. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 555. | MR 18,288k | Zbl 0071.10701

[28] G. Choquet, Existence des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 699. | MR 18,219b | Zbl 0071.10702

[29] G. Choquet, Les noyaux réguliers en théorie du potentiel. C. R. Acad. Sc., Paris, 243, 1956, p. 635. | MR 18,295e | Zbl 0073.32104

[30] G. Choquet, Sur les fondements de la théorie fine du potentiel. Séminaire de théorie du potentiel, 1957, Inst. H. Poincaré. | Numdam | MR 19,405e

[31] G. Choquet, Sur les points d'effilement d'un ensemble. Application à l'étude de la capacité. Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, pp. 91-102. | Numdam | MR 22 #3692c | Zbl 0093.29702

[32] G. Choquet, Sur les Gδ de capacité nulle, Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, pp. 103-110. | Numdam | MR 22 #3692d | Zbl 0093.29801

[33] J. Deny, Le principe des singularités positives et la représentation des fonctions harmoniques positives dans un domaine. Revue scient., 1947, fasc. 14, pp. 866-872. | MR 9,433a | Zbl 0029.26601

[34] J. Deny, Systèmes totaux de fonctions harmoniques. Ann. Inst. Fourier, 1, 1949, pp. 103-120. | Numdam | MR 12,258c

[35] J. L. Doob, Probability methods applied to the first boundary value problem. Proc. Third Berkeley Symp., 2, 1954-1955, pp. 49-80. | MR 18,941a | Zbl 0074.09101

[36] J. L. Doob, A non probabilistic proof of the relative Fatou theorem. Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, pp. 293-300. | Numdam | MR 22 #8233 | Zbl 0095.08203

[37] D. Gilbarg et J. Serrin, On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations. Journal d'Analyse Math., 4, 1954-1955, pp. 309-340. | MR 18,399a | Zbl 0071.09701

[38] R. M. Hervé, Sur le problème de Dirichlet dans un espace de Green. C. R. Acad. Sc., Paris, 247, 1958, pp. 401-404. | MR 20 #6609 | Zbl 0107.08302

[39] R. M. Hervé, Développements sur une théorie axiomatique des fonctions surharmoniques. C. R. Acad. Sc., Paris, 248, 1959, pp. 179-181. | MR 21 #5097 | Zbl 0096.30401

[40] R. M. Hervé, Topologie sur l'ensemble des fonctions surharmoniques ≥ 0 et représentation intégrale. C. R. Acad. Sc., Paris, 250, 1960, pp. 2834-2836. | MR 23 #A1828 | Zbl 0093.11003

[41] R. M. Hervé, Les fonctions harmoniques adjointes dans l'axiomatique de M. Brelot. C. R. Acad. Sc., Paris, 250, 1960, pp. 4263-4265. | MR 23 #A1829 | Zbl 0100.09702

[42] C. Miranda, Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Ergeb. Math., 1955. | MR 19,421d | Zbl 0065.08503

[43] C. Miranda, Le soluzioni fondamentali delle equazioni ellittiche. Conf. Sem. Mat. Univ., Bari, 30, 1957, pp. 3-16. | MR 19,1056b | Zbl 0081.31502

[44] C. B. Morrey, Second order elliptic systems of differential equations, in Contributions to the theory of partial differential equations. Ann. Math. Studies, Princeton, 33, 1954, pp. 101-159. | MR 16,827e | Zbl 0057.08301

[45] A. P. Morse, A theory of covering and differentiation. Trans. Amer. Math. Soc., 55, 1944, p. 205. | MR 5,231g | Zbl 0063.04111

[46] A. P. Morse, Perfect blankets. Trans. Amer. Math. Soc., 61, 1947, p. 418. | MR 8,571h | Zbl 0031.38702

[47] L. Naïm, Sur le rôle de la frontière de Martin dans la théorie du potentiel. Ann. Inst. Fourier, 7, 1957, pp. 183-285. | Numdam | MR 20 #6608 | Zbl 0086.30603

[48] P. Rosenbloom, Linear partial differential equations, in Numerical analysis and partial differential equations. Surveys in applied Math., 5, 1958, pp. 43-204. | Zbl 0084.29803

[49] J. Serrin, On the Harnack inequality for linear elliptic equations. Journal d'Analyse Math., 4, 1954-1955, pp. 292-308. | MR 18,398f | Zbl 0070.32302

[50] G. Tautz, Zur Theorie der ersten Randwertaufgabe. Math. Nach., 2, 1949, pp. 279-303. | MR 11,358b | Zbl 0037.07001

[51] G. Tautz, Zum Umkehrungsproblem bei elliptischen Differentialgleichungen I, II et "Bemerkungen...". Archiv der Math., vol 3, 1952, pp. 232-238, 239-250 et 361-365. | MR 14,876e | Zbl 0048.07701