On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 23 (2014) no. 2, pp. 353-359.

Soit h i (k,n) le i-ème espace de configuration ordonnée de tous les points distincts H 1 ,...,H h dans la Grassmannienne Gr(k,n) de sous-espaces de dimension k de n , dont la somme est un sous-espace de dimension i. Nous prouvons que h i (k,n) est (si non vide) une sous-variété complexe de Gr(k,n) h de dimension i(n-i)+hk(i-k) et que son groupe fondamental est trivial si i=min(n,hk), hkn et n>2 et égal au groupe de tresses de la sphère P 1 si n=2. Finalement, nous calculons le groupe fondamental dans le cas particulier des arrangements d’hyperplans, c’est-à-dire k=n-1.

Let h i (k,n) be the i-th ordered configuration space of all distinct points H 1 ,...,H h in the Grassmannian Gr(k,n) of k-dimensional subspaces of n , whose sum is a subspace of dimension i. We prove that h i (k,n) is (when non empty) a complex submanifold of Gr(k,n) h of dimension i(n-i)+hk(i-k) and its fundamental group is trivial if i=min(n,hk), hkn and n>2 and equal to the braid group of the sphere P 1 if n=2. Eventually we compute the fundamental group in the special case of hyperplane arrangements, i.e. k=n-1.

@article{AFST_2014_6_23_2_353_0,
     author = {Manfredini, Sandro and Settepanella, Simona},
     title = {On the {Configuration} {Spaces} of {Grassmannian} {Manifolds}},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {353--359},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 23},
     number = {2},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/afst.1410},
     zbl = {06297896},
     mrnumber = {3205597},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1410/}
}
TY  - JOUR
AU  - Manfredini, Sandro
AU  - Settepanella, Simona
TI  - On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2014
SP  - 353
EP  - 359
VL  - 23
IS  - 2
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1410/
DO  - 10.5802/afst.1410
LA  - en
ID  - AFST_2014_6_23_2_353_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Manfredini, Sandro
%A Settepanella, Simona
%T On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2014
%P 353-359
%V 23
%N 2
%I Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques
%C Toulouse
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1410/
%R 10.5802/afst.1410
%G en
%F AFST_2014_6_23_2_353_0
Manfredini, Sandro; Settepanella, Simona. On the Configuration Spaces of Grassmannian Manifolds. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 23 (2014) no. 2, pp. 353-359. doi : 10.5802/afst.1410. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1410/

[1] Berceanu (B.), Parveen (S.).— Braid groups in complex projective spaces, Adv. Geom. 12, p. 269-286 (2012). | Zbl

[2] Birman (J. S.).— Braids, Links, and Mapping Class Groups, Annals of Mathematics 82, Princeton University Press (1974). | MR | Zbl

[3] Fadell (E.R.).— Homotopy groups of configuration spaces and the string problem of Dirac, Duke Math. J. 29, p. 231-242 (1962). | MR | Zbl

[4] Fadell (E.R), Husseini (S.Y.).— Geometry and Topology of Configuration Spaces, Springer Monographs in Mathematics (2001), Springer-Verlarg Berlin. | MR | Zbl

[5] Fadell (E.R.), Neuwirth (L.).— Configuration spaces, Math. Scand. 10, p. 111-118 (1962). | MR | Zbl

[6] Manfredini (S.), Parveen (S.), Settepanella (S.).— Braid groups in complex spaces, arXiv: 1209.2839 (2012).

Cité par Sources :