Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : de la structure de NPO à la structure des instances
RAIRO - Operations Research - Recherche Opérationnelle, Volume 36 (2002) no. 4, p. 311-350

This paper is the continuation of the paper “Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation: Formalisme unifié et classes d'approximation” where a new formalism for polynomial approximation and its basic tools allowing an “absolute” (individual) evaluation the approximability properties of NP-hard problems have been presented and discussed. In order to be used for exhibiting a structure for the class NPO (the optimization problems of NP), these tools must be enriched with an “instrument” allowing comparisons between approximability properties of different problems (these comparisons must be independent on any specific approximation result of the problems concerned). This instrument is the approximability-preserving reductions. We show how to integrate them in the formalism presented and propose the definition of a new reduction unifying, under a specific point of view a great number of existing ones. This new reduction allows also to widen the use of the reductions, restricted until now either between versions of a problem, or between problems, in order to enhance structural relations between frameworks. They allow, for example, to study how standard-approximation properties of a problem transform into differential-approximation ones (for the same problem, or for another one). Finally, we apply the several concepts introduced to the study of the structure (and hardness) of the instances of a problem. This point of view seems particurarly fruitful for a better apprehension of the hardness of certain problems and of the mechanisms for the design of efficient solutions for them.

Cet article est la suite de l'article «Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : formalisme unifié et classes d'approximation» où nous avons présenté et discuté, dans le cadre d'un nouveau formalisme pour l'approximation polynomiale (algorithmique polynomiale à garanties de performances pour des problèmes NP-difficiles), des outils permettant d'évaluer, dans l'absolu, les proporiétés d'approximation de problèmes difficiles. Afin de répondre pleinement à l'objectif de l'approximation polynomiale de mettre en évidence et étudier une structure de la classe NPO (problèmes d'optimisation de NP), ces outils ont besoin d'être complétés pour offrir la possibilité de comparer, indépendamment de tout résultat spécifique, les propriétés d'approximation de problèmes différents. C'est l'objet de la notion de réduction en approximation à laquelle nous nous intéressons ici. Nous montrons comment l'intégrer au nouveau formalisme et présentons une définition qui unifie, sous un point de vue spécifique, les nombreuses notions existantes. Cette définition permet aussi un emploi systématique de réductions pour étudier des liens entre différents problèmes, entre différentes versions d'un problème ou encore entre le cadre de l'approximation classique et celui de l'approximation différentielle. Comme dans l'article «Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : formalisme unifié et classes d'approximation», ce travail est illustré par de nombreux exemples et s'adresse tant aux spécialistes du domaine, pour un débat commun, qu'aux non spécialistes qui ont une occasion de se familiariser avec ce domaine. Enfin, nous appliquons les différents concepts à l'étude de la struture (et la difficulté) des instances d'un problème. Cette problématique s'avère très intéressante pour une meilleure compréhension de la difficulté de certains problèmes et pour leur résolution efficace. Mots Clés. Complexité, difficulté intrinsèque, analyse des algorithmes et des problèmes, algorithmes d'approximation. Classification Mathématique. 68Q15, 68Q17, 68Q25, 68W25.

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Demange, Marc; Paschos, Vangelis. Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : de la structure de NPO à la structure des instances. RAIRO - Operations Research - Recherche Opérationnelle, Volume 36 (2002) no. 4, pp. 311-350. doi : 10.1051/ro:2003009. http://www.numdam.org/item/RO_2002__36_4_311_0/

[1] L. Alfandari, Approximation de problèmes de couverture et de partitionnement de graphes, Ph.D. Thesis. LAMSADE, Université Paris-Dauphine (1999).

[2] N. Alon et N. Kahale, Approximating the independence number via the θ-function. Math. Programming (1998). | MR 1603356 | Zbl 0895.90169

[3] T. Andreæ et H.-J. Bandelt, Performance guarantees for approximation algorithms depending on parametrized triangle inequalities. SIAM J. Discrete Math. 8 (1995) 1-16. | MR 1315955 | Zbl 0832.90089

[4] G. Ausiello, P. Crescenzi, G. Gambosi, V. Kann, A. Marchetti-Spaccamela et M. Protasi, Complexity and approximation. Combinatorial optimization problems and their approximability properties. Springer, Heidelberg (1999). | Zbl 0937.68002

[5] G. Ausiello, P. Crescenzi et M. Protasi, Approximate solutions of NP optimization problems. Theoret. Comput. Sci. 150 (1995) 1-55. | MR 1357119 | Zbl 0874.68145

[6] G. Ausiello, A. D'Atri et M. Protasi, Structure preserving reductions among convex optimization problems. J. Comput. System Sci. 21 (1980) 136-153. | Zbl 0441.68049

[7] M.A. Bender et C. Chekuri, Performance guarantees for the TSP with a parametrized triangle inequality, dans Proc. WADS'99. Springer, Lecture Notes in Comput. Sci. 1663 (1999) 80-85. | Zbl 1063.68700

[8] C. Berge, Graphs and hypergraphs. North Holland, Amsterdam (1973). | MR 357172 | Zbl 0254.05101

[9] P. Berman et J. Hartmanis, On isomorphisms and density of np and other complete sets. SIAM J. Comput. 6 (1977) 305-322. | MR 455536 | Zbl 0356.68059

[10] H.-J. Böckenhauer, J. Hromkovič, R. Klasing, S. Seibert et W. Unger, Towards the notion of stability of approximation algorithms and the traveling salesman problem, Report 31, Electr. Colloq. Computational Comp. (1999).

[11] , Approximation algorithms for the TSP with sharpened triangle inequality. Inform. Process. Lett. 75 (2000) 133-138. | MR 1776665

[12] , An improved lower bound on the approximability of metric TSP and approximation algorithms for the TSP with sharpened triangle inequality, dans Proc. STACS'00. Springer, Lecture Notes in Comput. Sci. (2000) 382-394. | Zbl 1028.90044

[13] H.-J. Böckenhauer et S. Seibert, Improved lower bounds on the approximability of the traveling salesman problem. RAIRO: Theoret. Informatics Appl. 34 (2000) 213-255. | Numdam | MR 1796269 | Zbl 0971.68075

[14] B.B. Boppana et M.M. Halldórsson, Approximating maximum independent sets by excluding subgraphs. BIT 32 (1992) 180-196. | MR 1172185 | Zbl 0761.68044

[15] N. Creignou, Temps linéaire et problèmes NP-complets, Ph.D. Thesis. Université de Caen (1993).

[16] P. Crescenzi, A short guide to approximation preserving reductions, dans Proc. Conference on Computational Complexity (1997) 262-273. | MR 1758143

[17] P. Crescenzi, V. Kann, R. Silvestri et L. Trevisan, Structure in approximation classes, Technical Report TR96-066, Electronic Colloquium on Computational Complexity (1996). Available on www_address: http://www.eccc.uni-trier.de/eccc/

[18] P. Crescenzi et A. Panconesi, Completeness in approximation classes. SIAM J. Comput. (1991). | MR 1115527

[19] M. Demange, P. Grisoni et V.T. Paschos, Differential approximation algorithms for some combinatorial optimization problems. Theoret. Comput. Sci. 209 (1998) 107-122. | MR 1647498 | Zbl 0912.68061

[20] M. Demange, J. Monnot et V.T. Paschos, Bridging gap between standard and differential polynomial approximation: The case of bin-packing. Appl. Math. Lett. 12 (1999) 127-133. | MR 1750071 | Zbl 0942.68144

[21] , Maximizing the number of unused bins. Found. Comput. Decision Sci. 26 (2001) 169-186. | MR 1843945

[22] M. Demange et V.T. Paschos, Valeurs extrémales d'un problème d'optimisation combinatoire et approximation polynomiale. Math. Inf. Sci. Humaines 135 (1996) 51-66. | Numdam | Zbl 0885.90093

[23] , Towards a general formal framework for polynomial approximation. Cahier du LAMSADE 177. LAMSADE, Université Paris-Dauphine (2001).

[24] , Autour de nouvelles notions pour l'analyse des algorithmes d'approximation : formalisme unifié et classes d'approximation. RAIRO: Oper. Res. 36 (2002) 237-277. | Numdam | Zbl 1089.68668

[25] U. Feige et J. Kilian, Zero knowledge and the chromatic number, dans Proc. Conference on Computational Complexity (1996) 278-287.

[26] M.R. Garey et D.S. Johnson, Computers and intractability. A guide to the theory of NP-completeness. W. H. Freeman, San Francisco (1979). | MR 519066 | Zbl 0411.68039

[27] M.M. Halldórsson, Approximating the minimum maximal independence number. Inform. Process. Lett. 46 (1993) 169-172. | MR 1229204 | Zbl 0778.68041

[28] , Approximations via partitioning, JAIST Research Report IS-RR-95-0003F. Japan Advanced Institute of Science and Technology, Japan (1995).

[29] J. Håstad, Clique is hard to approximate within n 1-ϵ . Acta Math. 182 (1999) 105-142. | MR 1687331 | Zbl 0989.68060

[30] D.S. Hochbaum, Approximation algorithms for NP-hard problems. PWS, Boston (1997).

[31] D.S. Johnson, Approximation algorithms for combinatorial problems. J. Comput. System Sci. 9 (1974) 256-278. | MR 449012 | Zbl 0296.65036

[32] V. Kann, Polynomially bounded problems that are hard to approximate. Nordic J. Comput. 1 (1994) 317-331. | MR 1335251 | Zbl 0817.68082

[33] D. Karger, R. Motwani et M. Sudan, Approximate graph coloring by semidefinite programming. J. Assoc. Comput. Mach. 45 (1998) 246-265. | MR 1623197 | Zbl 0904.68116

[34] R.M. Karp, Reducibility among combinatorial problems, dans Complexity of computer computations, édité par R.E. Miller et J.W. Thatcher, Plenum Press, New York (1972) 85-103. | MR 378476

[35] S. Khanna, R. Motwani, M. Sudan et U. Vazirani, On syntactic versus computational views of approximability. SIAM J. Comput. 28 (1998) 164-191. | MR 1630433 | Zbl 0915.68068

[36] J. Lorenzo, Approximation des solutions et des valeurs des problèmes NP-complets, Thèse de Doctorat. CERMSEM, Université Paris I (en préparation).

[37] N. Lynch et J. Lipton, On structure preserving reductions. SIAM J. Comput. 7 (1978) 119-126. | MR 502264

[38] J. Monnot, Familles critiques d'instances et approximation polynomiale, Ph.D. Thesis. LAMSADE, Université Paris-Dauphine (1998).

[39] G.L. Nemhauser, L.A. Wolsey et M.L. Fischer, An analysis of approximations for maximizing submodular set functions. Math. Programming 14 (1978) 265-294. | MR 503866 | Zbl 0374.90045

[40] P. Orponen et H. Mannila, On approximation preserving reductions: Complete problems and robust measures, Tech. Rep. C-1987-28. Dept. of Computer Science, University of Helsinki, Finland (1987).

[41] C.H. Papadimitriou et K. Steiglitz, Combinatorial optimization: Algorithms and complexity. Prentice Hall, New Jersey (1981). | MR 663728 | Zbl 0503.90060

[42] C.H. Papadimitriou et M. Yannakakis, Optimization, approximation and complexity classes. J. Comput. System Sci. 43 (1991) 425-440. | MR 1135471 | Zbl 0765.68036

[43] A. Paz et S. Moran, Non deterministic polynomial optimization problems and their approximations. Theoret. Comput. Sci. 15 (1981) 251-277. | MR 632398 | Zbl 0459.68015

[44] H.U. Simon, On approximate solutions for combinatorial optimization problems. SIAM J. Discrete Math. 3 (1990) 294-310. | MR 1039300 | Zbl 0699.68077

[45] V. Vazirani, Approximation algorithms. Springer, Heidelberg (2001). | MR 1851303 | Zbl 1005.68002