Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l'algèbre. Un point de vue tendancieux
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 2, pp. 237-260.

Je vais traiter, d'un point de vue personnel, la naissance et les premiers développements de la théorie des modèles pendant la période qui s'étend de sa naissance vers 1870, avec les travaux de Peirce, jusqu'au théorème de Morley vers 1965. J'insisterai particulièrement sur l'aspect « algèbre universelle » et j'essaierai de dégager comment la notion de définissabilité a fait évoluer cette théorie jusqu'à une science complexe pouvant apporter de nouvelles idées au reste des mathématiques.

This article presents a personal point of view dealing with the theory of models from its birth, with Peirce's work around 1870, to Morley's theorem in 1965. It insists particularly on “universal algebras” and explains how this theory evolved through the notion of definability towards a complex science able to infuse the rest of mathematics with new ideas.

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Lascar, Daniel. Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l'algèbre. Un point de vue tendancieux. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 2, pp. 237-260. http://www.numdam.org/item/RHM_1998__4_2_237_0/

[1] Ax (James) & Kochen (Simon) [1965] Diophantine problems over local fields II, American Journal of Mathematics 87 (1965), p.631-648. | MR 184931 | Zbl 0136.32805

[2] Birkhoff (Garrett) [1933] On the combination of subalgebras, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 29 (1933), p.441-464. | JFM 59.0154.02 | Zbl 0007.39502

[3] Boole (George) [1847] The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge : Macmillan, Barclay & Macmillan, 1847. | Zbl 0041.34803

[4] Chang (Chen Chung) [1971] Model theory 1945-1971, Proceedings of the Tarski Symposium, Berkeley, 1971, p.173-186. | MR 472502 | Zbl 0306.02006

[5] Chang (Chen Chung) & Keisler (Jérôme H.) [1973] Model Theory, Amsterdam : North Holland, 1973.

[6] Ehrenfeucht (Andrzej) [1957] On theories categorical in power, Fundamenta Mathematica, 44 (1957), p.241-248. | MR 96606 | Zbl 0105.00601

[7] Ehrenfeucht (Andrzej) & Mostowski (Andrzej) [1956] Models of axiomatic theories admitting automorphisms, Fund. Math., 43 (1956), p.50-68. | MR 84456 | Zbl 0073.00704

[8] Engeler (Erwin) [1959] A characterisation of theories with isomorphic denumerable models, Abstract, Notices of the American Mathematical Society, 6 (1959), p.161.

[9] Ershov (Yu) [1965] On the elementary theory of maximal normed fields (en russe), Algebra i logika, 4(3) (1965), p.31-70. | MR 193086 | Zbl 0274.02022

[10] Fraïsse (Roland) [1954] Sur l'extension aux relations de quelques propriétés des ordres, Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 71 (1954), p.363-388. | Numdam | MR 69239 | Zbl 0057.04206

[11] Frege (Gottlob) [1878] Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens, Halle 1878. Traduction en anglais dans [Heijenoort 1967, p.1-82].

[12] Frege (Gottlob) [1882] Ueber den Zweck der Begriffsschrift, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1882, p.1-10. | MR 604516

[13] Frege (Gottlob) [1964] Begriffsschrift und andere Aufsätze, éd. par Ignacio Angelelli, Hildesheim : Olms, 1964. | MR 164864

[14] Gödel (Kurt) [1930] Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatshefte für Mathematik und Physik, 37 (1930), p.349-360. Traduction en anglais dans [Heijenoort 1967, p.582-591]. | JFM 56.0046.04

[15] Heijenoort (Jean Van) [1967] From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, Cambridge, Ma. : Harvard University Press, 1967. | MR 209111 | Zbl 0183.00601

[16] Hodges (Wilfrid) [1993] Model Theory, Cambridge : Cambridge University Press, 1993. | MR 1221741 | Zbl 0789.03031

[17] Hrushovski (Ehud) [1996] The Mordell-Lang conjecture for function fields, Journal of the American Mathematical Society, 9 (1996), p.667-690. | MR 1333294 | Zbl 0864.03026

[18] Jønsson (Bjarni) [1956] Universal relational systems, Mathematica Scandinavica, 4 (1956), p.193-208. | MR 96608 | Zbl 0077.25302

[19] Jønsson (Bjarni) [1960] Homogeneous universal relational systems, Math. Scand., 8 (1960), p.137-142. | MR 125021 | Zbl 0173.00505

[20] Łoš (Jerzi) [1954] On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related problems, Colloquium Mathematicum, 3 (1954), p.58-62. | MR 61561 | Zbl 0055.00505

[21] Łoš (Jerzi) [1955] Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres, dans Brouwer (L.E.J.) et al., eds., Mathematical Interpretation of Formal Systems, Amsterdam : North Holland, 1955, p.98-113. | Zbl 0068.24401

[22] Löwenheim (Leopold) [1915] Über Möglichkeiten im Relativkalkül, Mathematische Annalen, 76 (1915), p.447-470. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967].

[23] Maltsev (Anatolii Ivanovich) [1936] Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik, Matematiceskij Sbornik, 1(43) (1936), p.323-336. | Zbl 0014.38501

[24] Marsh (William) [1966] On Ð 1 but not Ð-categorical theories, Ph.D. thesis, University of Dartmouth, 1966.

[25] Mitchell [1883] Studies in Logic, by members of the Johns Hopkins University, Boston : Little & Brown, 1883.

[26] Morley (Michael) [1965] Categoricity in Power, Transactions of the American Mathematical Society, 114 (1965), p.514-538. | MR 175782 | Zbl 0151.01101

[27] Morley (Michael) & Vaught (Robert L.) [1962] Homogeneous universal models, Math. Scand., 11 (1962), p.37-57. | MR 150032 | Zbl 0112.00603

[28] Peirce (Charles Sanders) [1870] Description of a notation for logic of relatives, resulting from an amplification of the conception of Boole's calculus of logic, Memoirs of the American Academy of Art and Sciences, 9 (1870), p.317-378.

[29] Robinson (Abraham) [1961] Non standard analysis, Indagationes Mathematicae, 23 (1961), p.432-440. | MR 142464 | Zbl 0102.00708

[30] Ryll-Nardzewski (Czeslaw) [1959] On the categoricity in power 0 , Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences mathématiques, astronomiques et physiques, 7 (1959), p.545-548. | MR 111681 | Zbl 0117.01101

[31] Schröder (Ernst) [1880] Revue critique de Frege, Begriffsschrift, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 25 (1880), Historisch-literarische Abtheilung, p.81-94.

[32] Schröder (Ernst) [1890,1891,1895] Vorlesungen über die Algebra der Logik, Leipzig 1890, 1891, 1895. Republié par Chelsea, New York, en 1966.

[33] Scott (Dana) & Tarski (Alfred) [1958] The sentential calculus with infinitely long expressions, Colloquium Mathematicum, 6 (1958), p.165-170. | MR 99914 | Zbl 0119.25002

[34] Shelah (Saharon) [1978] Classification Theory and the Number of Non-Isomorphic Models, Amsterdam : North Holland, 1978. | MR 513226 | Zbl 0388.03009

[35] Skolem (Thoralf) [1920] Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen, Videnskapsselskapets Skrifter, I, Matem. naturv. klasse I, no4, 1920, p.1-36. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967]. | JFM 48.1121.01 | MR 151894

[36] Skolem (Thoralf) [1923] Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, dans Mathematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen Redogörelse, Helsinki, 1922, p.217-232. Traduit en anglais dans [Heijenoort 1967]. | JFM 49.0138.02

[37] Skolem (Thoralf) [1934] Über die Nichtcharakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen, Fund. Math., 23 (1934), p.150-161. | Zbl 0010.04902

[38] Svenonius (Lars) [1959] 0 -categoricity in first order predicate calculus, Theoria, 25 (1959), p.82-94. | MR 138539

[39] Szmielew (Wanda) [1955] Elementary properties of Abelian groups, Fund. Math., 41 (1955), p.203-271. | MR 72131 | Zbl 0064.00803

[40] Tarski (Alfred) [1931] Sur les ensembles définissables de nombres réels, Fund. Math., 17 (1931), p.210-239. | JFM 57.0060.02

[41] Tarski (Alfred) [1933] Pojȩciu prawdy w jezybach nauk dedukcyjnych, Warsawa, 1933. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956, p.152-278. | MR 78296

[42] Tarski (Alfred) [1936a] Grundzüge des Systemenkalküls. Zweiter Teil, Fund. Math., 26 (1936), p.283-301. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956. | JFM 62.0038.02 | MR 78296 | Zbl 0014.38701

[43] Tarski (Alfred) [1936b] Über den Begriff der logischen Folgerung, Actes du congrès international de philosophie des sciences, vol. 7, Actualités scientifiques et industrielles 394, Paris : Hermann, 1936, p.1-11. Traduit en anglais dans Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford : Clarendon Press, 1956. | JFM 62.1050.05 | MR 78296

[44] Tarski (Alfred) [1941] On the calculus of relations, Journal of Symbolic Logic, 7 (1941), p.73-89. | JFM 67.0973.02 | MR 5280 | Zbl 0026.24401

[45] Tarski (Alfred) [1949] Arithmetical classes and types of algebraically closed and real closed fields, Abstract, Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (1949), p.1192.

[46] Tarski (Alfred) [1951] A decision method for elementary algebra and geometry, Berkeley : University of California Press, 1951. | MR 44472 | Zbl 0900.03045

[47] Tarski (Alfred) [1952] Some notions and methods on the borderlines of algebra and metamathematics, Proceedings of the International Congress of Mathematics, Cambridge Ma, American Mathematical Society, Providence, Rhodes Island, 1952, p.705-720. | MR 45068 | Zbl 0049.00702

[48] Tarski (Alfred) & Vaught (Robert L.) [1957] Arithmetical extension of relational systems, Compositio Mathematica, 13 (1957), p.81-102. | Numdam | MR 95121 | Zbl 0091.01201

[49] Thiel (Christian) [1977] Leopold Löwenheim : life, work and early influence, in Gandy (R.O.) & Hyland (J.M.E.), eds., Logic Colloquium, 76, Amsterdam : North Holland, p.235-252. | MR 497811 | Zbl 0423.01019

[50] Vaught (Robert L.) [1954] Application of the Löwenheim-Skolem-Tarski theorem to problems of completeness and decidability, Proceedings Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Ser. A, 57 (1954) = Indag. Math., 16, p.467-472. | MR 63993 | Zbl 0056.24802

[51] Vaught (Robert L.) [1971] Model theory before 1945, Proceedings of the Tarski Symposium, Berkeley, 1971, p.153-172 | MR 472457 | Zbl 0306.02005

[52] Wilkie (Alex) [1996] Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, Journal of the American Mathematical Society, vol.9, no 4, Oct. 1996, p.1051-1094. | MR 1398816 | Zbl 0892.03013