On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis

Le critère de Robin spécifie que l’hypothèse de Riemann (RH) est vraie si et seulement si l’inégalité de Robin $\sigma \left(n\right):={\sum }_{d|n}d<e^{\gamma }nloglogn$ est vérifiée pour $n\ge 5041$, avec $\gamma$ la constante d’Euler(-Mascheroni). Nous montrons par des méthodes élémentaires que si $n\ge 37$ ne satisfait pas au critère de Robin il doit être pair et il n’est ni sans facteur carré ni non divisible exactement par un premier. Utilisant une borne de Rosser et Schoenfeld, nous montrons, en outre, que $n$ doit être divisible par une puissance cinquième $>1$. Comme corollaire, nous obtenons que RH est vraie ssi chaque entier naturel divisible par une puissance cinquième $>1$ vérifie l’inégalité de Robin.

Robin’s criterion states that the Riemann Hypothesis (RH) is true if and only if Robin’s inequality $\sigma \left(n\right):={\sum }_{d|n}d<e^{\gamma }nloglogn$ is satisfied for $n\ge 5041$, where $\gamma$ denotes the Euler(-Mascheroni) constant. We show by elementary methods that if $n\ge 37$ does not satisfy Robin’s criterion it must be even and is neither squarefree nor squarefull. Using a bound of Rosser and Schoenfeld we show, moreover, that $n$ must be divisible by a fifth power $>1$. As consequence we obtain that RH holds true iff every natural number divisible by a fifth power $>1$ satisfies Robin’s inequality.