The Josephus problem

Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert

Halbeisen, Lorenz ; Hungerbühler, Norbert

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 303-318.

Résumé
Abstract

Nous donnons des formules explicites permettant de calculer les nombres de Josephus $j (n, 2, i)$ and $j (n, 3, i)$ et fournissant une majoration et une minoration explicites de $j (n, k, i)$ qui ne diffèrent que d’au plus $2 k - 2$ (dans le cas $k = 4$ , ces bornes sont même meilleures). Nous proposons aussi un nouvel algorithme pour le calcul de ces nombres basé précisément sur ces estimations.

We give explicit non-recursive formulas to compute the Josephus-numbers $j (n, 2, i)$ and $j (n, 3, i)$ and explicit upper and lower bounds for $j (n, k, i)$ (where $k \geq 4$ ) which differ by $2 k - 2$ (for $k = 4$ the bounds are even better). Furthermore we present a new fast algorithm to calculate $j (n, k, i)$ which is based upon the mentioned bounds.

MR Zbl

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     author = {Halbeisen, Lorenz and Hungerb\"uhler, Norbert},
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TY  - JOUR
AU  - Halbeisen, Lorenz
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TI  - The Josephus problem
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1997
SP  - 303
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Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert. The Josephus problem. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 303-318. http://www.numdam.org/item/JTNB_1997__9_2_303_0/

Bibliographie
Cité par

[1] Burde, K.: "Das Problem der Abzählreime und Zahlenentwicklungen mit gebrochenen Basen". J. of Number Theory 26 (1987), 192-209 | MR | Zbl

[2] Jakóbczyk, F.: "On the generalized Josephus problem". Glasgow Math. J. 14 (1973),168-173 | MR | Zbl

[3] Josephus, F.: "The jewish war, Book III". Translated by H. S. Thackeray, Heinemann (1927), 341-366, 387-391

[4] Nörlund, N.E.: "Vorlesungen über Differenzenrechnung", Grundlehren d. math. Wissensch. 13, Springer, Berlin 1924 | JFM

[5] Robinson, W.J.: "The Josephus problem". Math. Gazette 44 (1960), 47-52 | MR

[6] Rouse Ball, W.W.: "Mathematical recreations and essays". Reprint New York (1962), 32-36 | JFM

[7] Woodhouse, D.: "The extended Josephus problem". Rev. Mat. Hisp.-Amer. (4) 33 (1973), 207-218 | MR | Zbl