Singularités non abordables par la géométrie
Annales de l'Institut Fourier, Tome 42 (1992) no. 1-2, p. 73-164
L’article est consacré aux objets locaux (germes de champs de vecteurs ou difféomorphismes) analytiques en toute dimension et spécialement à l’interaction entre les deux principales difficultés qui viennent compliquer leur étude: petits diviseurs et résonance. On introduit la technique d’arborification, qui permet d’étudier systématiquement l’influence des petits diviseurs diophantiens, puis on rappelle la définition des fonctions et monômes résurgents, indispensables dans tout contexte où intervient la résonance. On montre comment une unique équation, l’équation du pont, permet de construire tous les invariants holomorphes (i.e. tous les invariants analytiques fonction holomorphe de l’objet) et de donner une description très complète de ces objets locaux: normalisations sectorielles, critères d’existence de variétés analytiques invariantes, etc.
This paper is devoted to local analytic objects (i.e. germs of vector fields or diffeomorphisms) in any dimension, with special emphasis on the interplay between the two main difficulties: small denominators and resonance. We introduce an arborification technique, which is well suited for tackling diophantian small denominators and we recall the definition of resurgent functions and monomials, which are essential in any resonant context. We show how a single equation, the so-called Bridge Equation, not only yields all holomorphic invariants (i.e. all analytic invariants depending holomorphically on the object) but also most intrinsic properties of local objects, such as: sectorial normalization, criteria for the existence of invariant analytic varieties, etc.
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     author = {\'Ecalle, Jean},
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Écalle, Jean. Singularités non abordables par la géométrie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 42 (1992) no. 1-2, pp. 73-164. doi : 10.5802/aif.1287. http://www.numdam.org/item/AIF_1992__42_1-2_73_0/

[Br] A.D. Brjuno, Analytic form of differential equations, Trans. Moscow. Math. Soc., Vol. 25 (1971). | Zbl 0272.34018

[Be] A. Beurling, Sur les fonctions limites quasianalytiques de fractions rationnelles, in Collected Works (Vol. 1, pp. 109-120), Boston, 1989.

[E0] J. Ecalle, Théorie des invariants holomorphes, Thèse, Orsay, 1974.

[E1] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 1, Algèbres de fonctions résurgentes, Pub. Math. Orsay, (1981). | Zbl 0499.30034

[E2] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 2, Les fonctions résurgentes appliquées à l'itération, Pub. Math. Orsay, (1981). | Zbl 0499.30035

[E3] J. Ecalle, Les fonctions résurgentes, Vol. 3, L'équation du pont et la classification analytique des objets locaux, Pub. Math. Orsay, (1985). | Zbl 0602.30029

[E4] J. Ecalle, Classification analytique des champs de vecteurs locaux résonnants de Cv. Actes de la 37ème rencontre entre Mathématiciens et Physiciens (RCP), Strasbourg, Oct. 1983.

[E5] J. Ecalle, Finitude des cycles-limites et accéléro-sommation de l'application de retour (pp. 74-159) in : Bifurcations of Planar Vector fields ; Proc. Luminy 1989, Lect. Notes 1455, Springer. | MR 92e:58166 | Zbl 0729.34016

[E6] J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et application à la preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1991.

[E7] J. Ecalle, Calcul accélératoire et applications (à paraître aux Actualités Math., Ed. Hermann, Paris).

[E8] J. Ecalle, Calcul compensatoire et linéarisation quasianalytique des objets locaux. A paraître aux Proc. of the Coll. on complex Anal. Methods in Dyn. Syst., IMPA, Rio de Janeiro, Jan. 1992.

[E10] J. Ecalle, The acceleration operators and their applications, Proc. of the 1990 I.C.M., (Kyoto), Springer Verlag. | Zbl 0741.30030

[E11] J. Ecalle, Cohesive functions and weak accelerations. A paraître au Journal d'Analyse Math., Szolem Mandelbrojt Memorial Volume, 1992. | Zbl 0808.30002

[MR1] J. Martinet et J.-P. Ramis, Problèmes de modules pour des équations différentielles non-linéaires du premier ordre, Pub. Math. IHES, 55 (1982), 63-16. | Numdam | MR 84k:34011 | Zbl 0546.58038

[MR2] J. Martinet et J.-P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non-linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 4ème série, t.16 (1983), 571-625. | Numdam | MR 86k:34034 | Zbl 0534.34011

[MR3] J. Martinet et J.-P. Ramis, Elementary acceleration and multisummability, Paris, 1990. | Numdam | Zbl 0748.12005

[Ma] J. Martinet, Normalisation des champs de vecteurs holomorphes, d'après A.D. Brjuno, Séminaire Bourbaki, 1980-1981, n° 564-01. | Numdam | Zbl 0481.34013

[Rü1] H. Rüssmann, Über die Iteration analytischer Funktionen, J. Math. Mech., 17, 523-532. | Zbl 0186.47704

[Rü2] H. Rüssmann, On the convergence of power series transformations of analytic mappings near a fixed point into a normal form, Preprint IHES, Paris, 1977.