Foundations of the theory of the -products. Notion of Vey -product; each -product is equivalent to a Vey -product. Existence of Vey -products on each paracompact symplectic manifold such that . Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.
We consider the symplectic manifolds on which a Lie group acts by symplectomorphisms. If admits a -invariant linear connection, it admits a -invariant symplectic connection. If is a connected compact Lie group and if admits a -product, it admits a -invariant Vey -product. If is a connected Lie group, the group admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under . If is compact and if admits a -product, admits a Vey -product that is bi-invariant under .
Fondements de la théorie des -produits. Notion de -produit de Vey; tout -produit est équivalent à un -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte telle que , il existe des -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.
On considère les variétés symplectiques sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie . Si admet une connexion linéaire -invariante, elle admet une connexion symplectique -invariante. Si est compact connexe et si admet un -produit, elle admet un -produit de Vey -invariant. Si est un groupe de Lie connexe, le groupe admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par . Si est compact et si admet un -produit, il admet un -produit de Vey bi-invariant par .
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TY - JOUR AU - Lichnerowicz, André TI - Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits) JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1982 SP - 157 EP - 209 VL - 32 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/ DO - 10.5802/aif.865 LA - fr ID - AIF_1982__32_1_157_0 ER -
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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 1, pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/
[1] Déformations 1 - différentiables d'algèbres de Lie attachées à une variété symplectique ou de contact, C.R. Acad. Sc., t. 279, A (1974), 877. Compos. Matem., t. 31 (1975), 47-82. | Numdam | Zbl
, , ,[2] Déformations du crochet de Poisson sur une variété symplectique, Comm. Math. Helv., t. 50 (1975), 421-454. | MR | Zbl
,[3] Zbl
, Proc. Cambridge Philos Soc., t. 45 (1949), 99-124. |[4] Deformation theory and quantization, Ann. of Phys., t. 11 (1978), 61-110 et 111-151. | MR | Zbl
, , , et ,[5] Existence et équivalence des *v-produits sur une variété symplectique, C.R. Acad. Sc., t. 289, A (1979), 349. | MR | Zbl
,[6] Connexions symplectiques et *v-produits invariants, C.R. Acad. Sc., t. 291, A (1980), 413-463. | MR | Zbl
,[7] Sur l'algèbre de Lie des automorphismes infinitésimaux d'une variété symplectique, J. Diff. Geom., t. 9 (1974), 1-40. | MR | Zbl
, , ,[8] Dérivations et premier groupe de cohomologie pour les algèbres de Lie attachées à une variété symplectique, C.R. Acad. Sc., t. 275, A (1972), 113. | MR | Zbl
et ,[9] Deformation theory of algebraic structures, Ann. of Math., t. 79 (1964), 59-90. | Zbl
,[10] Sur les algèbres formelles associées par déformation à une variété symplectique, Ann. di Matem., t. 123 (1980), 287-330. | MR | Zbl
,[11] Crochet de Moyal-Vey et quantification, C.R. Acad. Sc., t. 283, A (1976), 19. | MR | Zbl
, , ,[12] Cohomology associated with the Poisson Lie algebra, Lett. in Math. Phys., t. 3 (1979), 297-310.
,[13] Existence and equivalence of twisted products on a symplectic manifold, Lett. in Math. Phys., t. 3 (1979), 495-502. | Zbl
,[14]
, Conv. Int. Geom. Diff., Cremonese Roma, (1954), 1-7; Indag. Math., t. 17 (1955), 390.[15] Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique (1979), à paraître en russe ; C.R. Acad. Sc., (1980), à paraître. | Zbl
et ,[16] Tangent and cotangent Bundles, Marcel Dekker, New-York (1973), p. 268-270 ont donné une autre solution du même problème, qui diffère de la nôtre par des termes de courbure. | Zbl
et ,Cited by Sources: