Ouverts stablement convexes par rapport à un opérateur différentiel

Unterberger, André

Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 3, pp. 269-290.

The equivalence between certain Carleman’s inequalities and some regularity properties of solutions with compact support of partial differential equations with constant coefficients is shown. $P\left(D\right)$ being a differential operator on ${\mathbf{R}}^n$, one then characterizes, in terms of $L^2$ inequalities the open subsets $\Omega$ of ${\mathbf{R}}^n$ such that $\Omega \times {\mathbf{R}}^k$ be $P\left(D\right)$-convex for each integer $k$.

On montre l’équivalence entre certaines inégalités “à la Carleman” et certaines propriétés de régularité des solutions à support compact d’équations aux dérivées partielles à coefficients constants : $P\left(D\right)$ étant un opérateur différentiel sur ${\mathbf{R}}^n$, on en déduit une caractérisation, en termes d’inégalités $L^2$, des ouverts $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que $\Omega \times {\mathbf{R}}^k$ soit $P\left(D\right)$-convexe pour tout entier $k$.

[1] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, (1964).

[2] F. Treves, Linear Partial Differential Equations, Gordon and Breach, (1970). | MR | Zbl

[3] A. Unterberger, Résolution d'équations aux dérivées partielles dans des espaces de distributions d'ordre de régularité variable, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 21, fasc. 2, (1971). | Numdam | MR | Zbl

[4] A. Unterberger, Espaces de Sobolev d'ordre variable et applications, Séminaire Goulaouic-Schwartz, Ecole Polytechnique, Paris (1971). | Numdam | MR | Zbl