Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p\left(G\right)$

Bonami, Aline

Annales de l'Institut Fourier, Volume 20 (1970) no. 2, pp. 335-402.

We study the decrease at infinity of the Fourier coefficients of $2\pi$-periodic integrable functions. Let ${\lambda }_n$ be a lacunary sequence of integers: ${\lambda }_{n+1}\ge 3{\lambda }_n$: the associated $k$-lacunary sequence is defined to be the sequence ${\mu }_N^k$ of integers which can be written as $\pm {\lambda }_{n_1}\pm {\lambda }_{n_2}\pm \cdots \pm {\lambda }_{n_k}$, $n_1>n_2>\cdots >n_k$. It is shown that if ${\int }_0^{2\pi }\left|f\right|({\mathrm{Log}}^{+}\left|f\right|{)}^{k/2}dx$ is finite, then ${\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$ is finite. If ${\lambda }_n$ satisfies a more restrictive condition, then for every $p$, $1<p\le 2$, it is shown that if ${\int }_0^{2\pi }|f{|}^{p}dx$ is finite, then ${\sum }_k(p-1){\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$ is finite. These results are generalized to other groups besides $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, and to other situations. It is also shown that every $k$ lacunary sequence which converges in a set of positive measure is the Fourier series of a square summable function.

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2\pi$-périodiques intégrables. Soit en particulier ${\lambda }_n$ une suite lacunaire d’entiers : ${\lambda }_{n+1}\ge 3{\lambda }_n$. On appelle suite $k$-lacunaire associée la suite ${\mu }_N^k$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm {\lambda }_{n_1}\pm {\lambda }_{n_2}\pm \cdots \pm {\lambda }_{n_k}$, $n_1>n_2>\cdots >n_k$. On montre que si ${\int }_0^{2\pi }\left|f\right|({\mathrm{Log}}^{+}\left|f\right|{)}^{k/2}dx$ est fini, il en est de même de ${\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. D’autre part, si ${\lambda }_n$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1<p\le 2$, si ${\int }_0^{2\pi }|f{|}^{p}dx$ est fini il en est de même de ${\sum }_k(p-1){\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, et à d’autres situations. On montre enfin une dernière propriété des séries $k$-lacunaires : toute série $k$-lacunaire qui converge sur un ensemble de mesure positive est la série de Fourier d’une fonction de carré sommable.

[1] A. Bonami, Ensembles Λ(p) dans le dual de D∞, Ann. Inst. Fourier, tome 18, fascicule 2, p. 193. | Numdam | MR | Zbl

[2] A. Bonami et Y. Meyer, Propriétés de convergence de certaines séries trigonométriques, C.R. Acad. Sc. Paris, tome 269, p. 68. | MR | Zbl

[3] J.-P. Kahane et R. Salem, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Actualités scientifiques et industrielles n° 1301, 1962. | Zbl

[4] Y. Meyer, Endomorphismes des idéaux fermés de L1(G), Classes de Hardy et Séries lacunaires, Ann. Sci. École Norm. Sup., 4e série, tome 1, 1968, p. 499. | Numdam | Zbl

[5] R. Rado, A combinatorial theorem on vector spaces, J. London Math. Soc.. 37, p. 351. | MR | Zbl

[6] W. Rudin, Trigonometric series with gaps, J. of Math. and Mech., 9, p. 203. | MR | Zbl

[7] W. Rudin, Fourier Analysis on groups, Interscience tracts in pure and applied mathematics n° 12, 1962. | MR | Zbl

[8] M. Schreiber, Fermeture en probabilité des chaos de Wiener, C.R. Acad. Sci., tome 265, p. 859. | MR | Zbl

[9] A. Zygmund, Trigonometric series, tome 1, Cambridge University Press, 1959. | Zbl

[10] A. Zygmund, Trigonometric series, tome 2, Cambridge University Press, 1959. | Zbl