Heights and regulators of number fields and elliptic curves
Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres, no. 2 (2014), pp. 47-62.

Hauteurs et régulateurs de corps de nombres et de courbes elliptiques.

On compare des inégalités entre invariants classiques de corps de nombres et de courbes elliptiques définies sur un corps de nombres. Dans le cas des corps de nombres, on remarque qu’il n’y a qu’un nombre fini de corps de nombres non-CM avec régulateur borné. On obtient alors comme conséquence d’une conjecture de Lang et Silverman une propriété de Northcott pour le régulateur sur l’ensemble des courbes elliptiques sur un corps de nombres dont les points rationnels sont denses. Cela indique que l’arithmétique d’un corps CM est similaire, au sens des invariants considérés ici, à celle des courbes elliptiques sur un corps de nombres dont le groupe de Mordell-Weil n’est pas dense au sens de Zariski, donc de rang nul.

We compare general inequalities between invariants of number fields and invariants of elliptic curves over number fields. On the number field side, we remark that there is only a finite number of non-CM number fields with bounded regulator. On the elliptic curve side, assuming the height conjecture of Lang and Silverman, we obtain a Northcott property for the regulator on the set of elliptic curves with dense rational points over a number field. This amounts to say that the arithmetic of CM fields is similar, with respect to the invariants considered here, to the arithmetic of elliptic curves over a number field having a non Zariski dense Mordell-Weil group, i.e. with rank zero.

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DOI : 10.5802/pmb.8
Classification : 11G50, 14G40
Mots clés : Heights, abelian varieties, regulators, Mordell-Weil
Pazuki, Fabien 1

1 Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen, Denmark, and IMB, Université de Bordeaux, 351 cours de la Libération, 33405 Talence.
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Pazuki, Fabien. Heights and regulators of number fields and elliptic curves. Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres, no. 2 (2014), pp. 47-62. doi : 10.5802/pmb.8. http://www.numdam.org/articles/10.5802/pmb.8/

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