$R$-équivalence sur les familles de variétés rationnelles et méthode de la descente

La méthode de la descente a été introduite et développée par Colliot-Thélène et Sansuc. Elle permet d’étudier l’arithmétique de certaines variétés rationnelles. Dans ce texte on montre comment il en résulte que pour certaines familles $f:X\to Y$ de variétés rationnelles sur un corps local $k$ de caractéristique nulle le nombre des classes de $R$-équivalence de la fibre $X_y\left(k\right)$ est localement constant quand $y$ varie dans $Y\left(k\right)$.

Using the descent method of Colliot-Thélène and Sansuc, we prove that for some families $f:X\to Y$ of rational varieties defined over a local field $k$ of characteristic zero, the number of $R$-equivalence classes of the fibre $X_y\left(k\right)$ is a locally constant function on $Y\left(k\right)$.

[1] J.-L. Colliot-Thélène, Variétés presque rationnelles, leurs points rationnels et leurs dégénérescences. In « Arithmetic Algebraic Geometry, Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, Italy, September 10-15, 2007 », 1–44, Lecture Notes in Mathematics 2009. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2011. | MR 2757627

[2] J.-L. Colliot-Thélène, Résolutions flasques des groupes linéaires connexes. J. reine angew. Math. 618 (2008), 77–133. | MR 2404747

[3] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La $R$-équivalence sur les tores. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 10 (1977), no. 2, 175–229. | Numdam | MR 450280 | Zbl 0356.14007

[4] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles. Journées de géométrie algébrique d’Angers (Juillet 1979), édité par A.Beauville, Sijthof et Noordhof (1980), pp. 223–237. | Zbl 0451.14018

[5] J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles II. Duke Math. J. 54 (1987), no. 2, 375–492. | MR 899402 | Zbl 0659.14028

[6] J.-L. Colliot-Thélène et A.N. Skorobogatov, R-equivalence on conic bundles of degree 4. Duke Math. J. 54 (1987), no. 2, 671–677. | MR 899411 | Zbl 0665.14021

[7] J.-L. Colliot-Thélène, D. Harari et A. N. Skorobogatov, Compactification équivariante d’un tore (d’après Brylinski et Künnemann). Expo. Math. 23 (2005), no. 2, 161–170. | MR 2155008

[8] O. Debarre, Higher-dimensional algebraic geometry. Springer-Verlag, 2001. | MR 1841091

[9] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer, I, II, III. Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas. North-Holland, Amsterdam ; Masson, Paris 1968. | Zbl 0193.21503

[10] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[11] S. Kleiman, The Picard scheme. Fundamental algebraic geometry, 235–321, Math. Surveys Monogr., 123. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. | MR 2223410

[12] J. Kollár, Rational curves on algebraic varieties. Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR 1440180 | Zbl 0877.14012

[13] J. Kollár, Rationally connected varieties over local fields. Annals of Math. 150 (1999), no. 1, 357–367. | MR 1715330 | Zbl 0976.14016

[14] J. Kollár, Specialization of zero-cycles. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 40 (2004), no. 3, 689–708. | MR 2074697

[15] Yu. I. Manin, Cubic forms : algebra, geometry, arithmetic. Izdat. “Nauka”, Moscow, 1972. | MR 360592 | Zbl 0255.14002

[16] J.S. Milne, Étale cohomology. Princeton Univ. Press, Princeton, 1980. | MR 559531 | Zbl 0433.14012

[17] L. Moret-Bailly, Un théorème de l’application ouverte sur les corps valués algébriquement clos. A paraître dans Mathematica Scandinavica, arXiv :1010.0341v3.

[18] L. Moret-Bailly, An extension of Greenberg’s theorem to general valuation rings. Manuscripta mathematica (2011).

[19] D. Mumford, Abelian varieties. Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay ; Oxford University Press, London 1970. | MR 282985 | Zbl 0223.14022

[20] J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups. Lectures given at Harvard University in 1964, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1500. Springer-Verlag, Berlin, 2006. | MR 2179691 | Zbl 0742.17008

[21] A.N. Skorobogatov, Torsors and rational points. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001. | MR 1845760

[22] C. Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe. Cours spécialisés, 10. Société Mathématique de France, Paris, 2002. | MR 1988456

[23] V.E. Voskresenskiĭ, Algebraic groups and their birational invariants. Transl. Math. Monogr. 179. Amer. Math. Soc., 1998. | MR 1634406

[SGA1] A. Grothendieck et M. Raynaud, Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

[SGA3] M. Demazure et A. Grothendieck, Schémas en groupes. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie SGA 3, Lecture Notes in Math. 151, 152, 153. Springer, Berlin-Heildelberg-New York, 1977. | Zbl 0209.24201

[SGA6] P. Berthelot, A. Grothendieck et L. Illusie, Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch. Lect. Notes Math. 225. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. | MR 354655