In this work, we study a family of Parametrized Dirichlet generating series which contains coloured polyzeta and Hurwitz polyzeta functions. This family verifies two shuffle relations; and we also include quasi-periodic relations and translational variable relations. Thanks to encoding with iterated integral, we obtain an integral representation of this series and deduce their analytic continuation over . At the end, we describe an algorithm giving the residues of this continuation.
Dans ce travail nous nous intéressons à l’étude d’une famille de séries paramétrées de Dirichlet qui englobe les polyzêtas colorés d’une part et les polyzêtas de Hurwitz d’autre part. Cette famille de fonctions vérifie deux relations de mélange ; nous mentionnons aussi des relations quasi-périodiques et des relations de translation de variables. Nous donnons un codage en terme d’intégrales itérées des séries étudiées, qui conduit à leur représentation intégrale. Celle-ci permet d’en effectuer un prolongement mérophorme sur . Nous finissons par la description d’un algorithme calculant les multi-résidus de ce prolongement.
@article{JTNB_2011__23_2_353_0, author = {Enjalbert, Jean-Yves and Hoang Ngoc Minh}, title = {Propri\'et\'es combinatoires et prolongement analytique effectif de polyz\^etas de {Hurwitz} et de leurs homologues}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {353--386}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {23}, number = {2}, year = {2011}, doi = {10.5802/jtnb.767}, zbl = {1244.11075}, mrnumber = {2817935}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.767/} }
TY - JOUR AU - Enjalbert, Jean-Yves AU - Hoang Ngoc Minh TI - Propriétés combinatoires et prolongement analytique effectif de polyzêtas de Hurwitz et de leurs homologues JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2011 SP - 353 EP - 386 VL - 23 IS - 2 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.767/ DO - 10.5802/jtnb.767 LA - fr ID - JTNB_2011__23_2_353_0 ER -
%0 Journal Article %A Enjalbert, Jean-Yves %A Hoang Ngoc Minh %T Propriétés combinatoires et prolongement analytique effectif de polyzêtas de Hurwitz et de leurs homologues %J Journal de théorie des nombres de Bordeaux %D 2011 %P 353-386 %V 23 %N 2 %I Société Arithmétique de Bordeaux %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.767/ %R 10.5802/jtnb.767 %G fr %F JTNB_2011__23_2_353_0
Enjalbert, Jean-Yves; Hoang Ngoc Minh. Propriétés combinatoires et prolongement analytique effectif de polyzêtas de Hurwitz et de leurs homologues. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 2, pp. 353-386. doi : 10.5802/jtnb.767. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.767/
[1] J. Blümlein, Algebraic Relations Between Harmonic Sums and Associated Quantities. Disponible à http ://arxiv.org/abs/hep-ph/0311046 | MR
[2] D.J. Broadhurst & D. Kreimer, Knots and Numbers in Theory to 7 Loops and beyond. IJMP C6, 519 (1995). | MR | Zbl
[3] D.J. Broadhurst & D. Kreimer, Association of multiple zeta values with positive knots via Feynman diagrams up to 9 loops. À paraître. | Zbl
[4] K.T. Chen, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc., vol 83 (1977), 831–879. | MR | Zbl
[5] C. Costermans, J.Y. Enjalbert, Hoang Ngoc Minh, Algorithmic and combinatoric aspects of multiple harmonic sums, In the proceeding of AofA, Barcelon, 6-10 June, (2005). | Zbl
[6] C. Costermans, Hoang Ngoc Minh, Noncommutative algebra, multiple harmonic sums and applications in discrete probability. J. Symb. Comput. 44 (7) (2009), 801–817. | MR | Zbl
[7] J.L. Dupont, On polylogarithms. Nagoya Math. J., vol 114 (1989), 1–20. | MR | Zbl
[8] F.J. Dyson, The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman. Phys. Rev. 75 (1949), 486–502. | MR | Zbl
[9] J. Ecalle, communication privée.
[10] J. Ecalle, ARI/GARI, la dimorphie et l’arithmétique des multizêtas : un premier bilan, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 15, n°2 (2003), 711–478. | Numdam | MR | Zbl
[11] J. Ecalle, Multizetas, perinomal numbers, arithmetical dimorphy, and ARI/GARI. Annales de la faculté des sciences de Toulouse, Sér. 6 Vol. 13 no. 4 (2004), 683–708. | Numdam | MR | Zbl
[12] J-Y. Enjalbert, Hoang Ngoc Minh, Analytic and combinatoric aspexts of Hurwitz polyzêtas. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 19, n°3 (2007), 595–640. | Numdam | MR | Zbl
[13] P. Flajolet, B. Vallée, Continued Fractions, Comparison Algorithms, and Fine Structure Constants. CMS Conf. Proc., 27, 53–82, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. | MR | Zbl
[14] Fliess M., Fonctionnelles causales non linéaires et indéterminées non commutatives. Bull. SMF, N109 (1981), 3–40. | Numdam | MR | Zbl
[15] I.M. Gelfand & G.E. Shilov, Generalized function, Vol. 1., Properties and operations. Academic Press, New York-London, 1964 [1977]. | MR | Zbl
[16] I Gessel, Multipartite p-partitions and inner products of skew schur functions. Combinatorics and Algebra, Contemp. Math 34 (1984), 289–301. | MR | Zbl
[17] C. Hespel, Une étude des séries formelles non commutatives pour l’Approximation et l’Identification des systèmes dynamiques. Thèse de docteur d’état, Lille, 1998.
[18] Hoang Ngoc Minh, Jacob G., N.E. Oussous, Input/Output behaviour of nonlinear analytic systems : rational approximations, nilpotent structural approximations. Analysis of controlled dynamical systems, 255–262, Birkhaüser, Boston, 1991. | MR | Zbl
[19] Hoang Ngoc Minh, Fonctions de Dirichlet d’ordre et de paramètre . Discrete Math., 180 (1998), 221–241. | MR | Zbl
[20] Hoang Ngoc Minh, G. Jacob, Symbolic integration of meromorphic differential systems via Dirichlet functions. Discrete Mathematics 210 (2000), 87–116. | MR | Zbl
[21] Hoang Ngoc Minh, G Jacob, N.E. Oussous, M. Petitot, De l’algèbre des de Riemann multivariées à l’algèbre des de Hurwitz multivariées. Journal electronique du Séminaire Lotharingien de Combinatoire 44 (2000), Art. B44i. | MR | Zbl
[22] Hoang Ngoc Minh, Algebraic Combinatoric Aspects of Asymptotic Analysis of Nonlinear Dynamical System with Singular Input. Acta Academiae Aboensis, Ser. B, Vol. 67, no. 2 (2007), 117–126.
Cited by Sources: