Poids de l’inertie modérée de certaines représentations cristallines

Caruso, Xavier; Savitt, David

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 1, pp. 79-96.

Tame inertia weights of certain crystalline representations

In this note we give a complete proof of Theorem 4.1 of [5], whose aim is to describe the action of tame inertia on the semi-simplification mod $p$ of a certain (small) family of crystalline representations $V$ of the absolute Galois group of a $p$-adic field $K$. This kind of computation was already accomplished by Fontaine and Laffaille when $K$ is absolutely unramified; in that setting, they proved that the action of tame inertia is completely determined by the Hodge-Tate weights of $V$, provided that those weights all belong to an interval of length $p-2$. The examples considered in this article show in particular that the result of Fontaine-Laffaille is no longer true when $K$ is absolutely ramified.

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de [5] qui a pour objet d’expliciter l’action de l’inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d’une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d’un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n’est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu’elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge-Tate de $V$, au moins si ceux-ci appartiennent à un même intervalle d’amplitude $p-2$. Les exemples que l’on calcule dans cet article montrent en particulier que le résultat simple de Fontaine et Laffaille ne s’étend pas au cas absolument ramifié.

[1] C. Breuil, Représentations $p$-adiques semi-stables et transversalité de Griffiths. Math. Annalen 307 (1997), 191–224. | MR | Zbl

[2] C. Breuil, Integral $p$-adic Hodge theory. Advanced studies in pure mathematics 36 (2002), 51–80. | MR | Zbl

[3] C. Breuil, A. Mézard, Multiplicités modulaires et représentations de ${\text{GL}}_2\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ et de $\text{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$ en $\ell =p$. Duke math. J. 115 (2002), 205–310. | MR | Zbl

[4] X. Caruso, Représentations semi-stables de torsion dans le cas $er<p-1$. J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92. | MR | Zbl

[5] X. Caruso, D. Savitt, Polygones de Hodge, de Newton et de l’inertie modérée des représentations semi-stables. À paraître dans Math. Ann.

[6] J. M. Fontaine, G. Laffaille, Construction de représentations $p$-adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982), 547–608. | Numdam | MR | Zbl

[7] N. Katz, Slope filtration of $F$-crystals. Astérisque 63 (1979), 113–164. | Numdam | MR | Zbl