Analytic and combinatoric aspects of Hurwitz polyzêtas
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 3, pp. 595-640.

Dans ce travail, un codage symbolique des séries généra-trices de Dirichlet généralisées est obtenu par les techniques combinatoires des séries formelles en variables non-commutative. Il permet d’expliciter les séries génératrices de Dirichlet généralisées ’périodiques’ – donc notamment les polyzêtas colorés – comme combinaison linéaire de polyzêtas de Hurwitz. De plus, la version non commutative du théorème de convolution nous fournit une représentation intégrale des séries génératrices de Dirichlet généralisées. Celle-ci nous permet de prolonger les polyzêtas de Hurwitz comme des fonctions méromorphes à plusieurs variables.

In this work, a symbolic encoding of generalized Di-richlet generating series is found thanks to combinatorial techniques of noncommutative rational power series. This enables to explicit periodic generalized Dirichlet generating series – particularly the coloured polyzêtas – as linear combinations of Hurwitz polyzêtas. Moreover, the noncommutative version of the convolution theorem gives easily rise to an integral representation of Hurwitz polyzêtas. This representation enables us to build the analytic continuation of Hurwitz polyzêtas as multivariate meromorphic functions.

DOI : 10.5802/jtnb.605
Enjalbert, Jean-Yves 1 ; Ngoc Minh, Hoang 1

1 Université Lille II 1 place Déliot 59024 Lille, France
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Enjalbert, Jean-Yves; Ngoc Minh, Hoang. Analytic and combinatoric aspects of Hurwitz polyzêtas. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 3, pp. 595-640. doi : 10.5802/jtnb.605. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.605/

[1] S. Akiyama, S. Egami & Y. Tanigawa, Analytic continuation of multiple zeta-functions and their values at non-positive integers. Acta Arith. XCVIII (2001), 107–116. | MR | Zbl

[2] J. Berstel & C. Reutenauer, Rational series and their languages. Springer.-Verlag., 1988. | MR | Zbl

[3] M. Bigotte, Etude symbolique et algorithmique des fonctions polylogarithmes et des nombres Euler-Zagier colorés. Thèse, Université Lille 1, Décembre 2000.

[4] J.M. Borwein, D.M. Bradley, D.J. Broadhurst & P. Lisonek, Special Values of Multiple Polylogarithms. in Trans. of the Amer. Math. Soc., 2000. | MR | Zbl

[5] L. Boutet de Monvel, Remarque sur les séries polylogarithmes divergentes. Collogue ”Polylogarithme, Multizêta et la conjecture Deligne-Ihara”, Luminy, Avril 2000.

[6] P. Cartier, Les méthodes de régularisation en physique mathématique. Séminaire IHP, Janvier 2000.

[7] P. Cartier, An introduction to zeta functions. Number Theory to Physics (Les Houches, 1989), M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson, eds., Springer-Verlag, Berlin, 1992, pp. 1–63. | MR | Zbl

[8] G.J. Chaitin, Algorithmic Information Theory. Cambridge University Press, 1987 | MR | Zbl

[9] K.T. Chen, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), 831–879. | MR | Zbl

[10] L. Comtet, Advanced combinatorics. Reidel, Dordrecht, 1974 | MR | Zbl

[11] C. Costermans, J.Y. Enjalbert & Hoang Ngoc Minh, Algorithmic and combinatoric aspects of multiple harmonic sums. In the proceeding of AofA, Barcelon, 6–10 June, (2005). | Zbl

[12] C. Costermans, J.Y. Enjalbert, Hoang Ngoc Minh & M. Petitot, Structure and asymptotic expansion of multiple harmonic sums. In the proceeding of ISSAC, Beijing, 24–27 July, (2005).

[13] J. Dieudonné, Calcul infinitésimal. Hermann, 1968 | MR | Zbl

[14] J. Ecalle, La libre génération des multizêtas et leur décomposition canonico-explicite en irréductibles. séminaire IHP, Décembre 1999.

[15] J. Ecalle, ARI/GARI, la dimorphie et l’arithmétique des multizêtas : un premier bilan. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 15 n°2 (2003), 411–478. | Numdam | Zbl

[16] P. Flajolet & R. Sedgewick, The Average Case Analysis of Algorithms: Mellin Transform Asymptotics. Research Report 2956, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, 1996.

[17] P. Flajolet & B. Vallée, Continued Fractions, Comparison Algorithms, and Fine Structure Constants. Research Report 4072, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, 2000. | MR | Zbl

[18] I.M. Gelfand & G.E. Shilov, Generalized function. Vol. 1., Properties and operations. Academic Press, New York-London, 1964 [1977]. | MR | Zbl

[19] A.B. Goncharov, Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes. Math. Res Letters 5 (1998), 497–516. | MR | Zbl

[20] A.B. Goncharov, Multiple polylogarithms and mixed Tate motives. ArXiv:math. AG/0103059 v4, pp 497–516, 2001. | MR | Zbl

[21] Hoang Ngoc Minh, Summations of Polylogarithms via Evaluation Transform. Mathematics and Computers in Simulations 42 no. 4-6 (1996), 707–728. | MR | Zbl

[22] Hoang Ngoc Minh, Fonctions de Dirichlet d’ordre n et de paramètre t. Discrete Math. 180 (1998), 221–241. | Zbl

[23] Hoang Ngoc Minh & M. Petitot, Lyndon words, polylogarithmic functions and the Riemann ζ function. Discrete Math. 217 (2000), 273–292. | MR | Zbl

[24] Hoang Ngoc Minh, M. Petitot & J. Van der Hoeven, Polylogarithms and Shuffle Algebra. FPSAC’98, Toronto, Canada, Juin 1998.

[25] Hoang Ngoc Minh, M. Petitot & J. Van der Hoeven, L’algèbre des polylogarithmes par les séries génératrices. FPSAC’99, Barcelone, Espagne, Juillet 1999.

[26] Hoang Ngoc Minh, Jacob G., N.E. Oussous, M. Petitot, Aspects combinatoires des polylogarithmes et des sommes d’Euler-Zagier. Journal electronique du Séminaire Lotharingien de Combinatoire B43e, (2000). | Zbl

[27] Hoang Ngoc Minh, Jacob G., N.E. Oussous, M. Petitot, De l’algèbre des ζ de Riemann multivariées à l’algèbre des ζ de Hurwitz multivariées. journal electronique du Séminaire Lotharingien de Combinatoire B44e, (2001). | Zbl

[28] Hoang Ngoc Minh, Des propriétés structurelles des polylogarithmes aux aspects algorithmiques des sommes harmoniques multiples. Groupe de travail Polylogarithmes et Polyzêtas, (2005).

[29] Hoang Ngoc Minh, Differential Galois groups and noncommutative generating series of polylogarithms. In the proceeding of 7 th World Multiconference on Systemics, Cybernetics and informatics, pp. 128–135, Orlando, Florida, July (2003).

[30] Hoang Ngoc Minh, Finite polyzêtas, Poly-Bernoulli numbers, identities of polyzêtas and noncommutative rational power series. In the proceeding of 4 th International Conference on Words, pp. 232-250, September, 10-13, 2003 Turku, Finland | MR | Zbl

[31] M. Hoffman, The algebra of multiple harmonic series. Jour. of Alg., August 1997. | MR | Zbl

[32] C. Laurent-Thiébaut, théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. InterÉdition/CNRS Éditions, (1997). | MR | Zbl

[33] T.Q.T. Lê & J. Murakami, Kontsevich’s integral for Kauffman polynomial. Nagoya Math. (1996), 39–65. | Zbl

[34] N. Nielsen, Recherches sur le carré de la dérivée logarithmique de la fonction gamma et sur quelques fonctions analogues. Annali di Matematica 9 (1904), 190–210.

[35] N. Nielsen, Note sur quelques séries de puissance trouvées dans la théorie de la fonction gamma. Annali di Matematica 9 (1904), 211–218.

[36] N. Nielsen, Recherches sur des généralisations d’une fonction de Legendre et d’Abel. Annali di Matematica 9 (1904), 219–235.

[37] D.E. Radford, A natural ring basis for shuffle algebra and an application to group schemes. Journal of Algebra 58 (1979), 432–454. | MR | Zbl

[38] C. Reutenauer, Free Lie Algebras. Lon. Math. Soc. Mono., New Series-7, Oxford Science Publications, 1993. | MR | Zbl

[39] M. Waldschmidt, Valeurs zêta multiples : une introduction. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 12 no.2 (2000), 581–595. | Numdam | MR | Zbl

[40] M. Waldschmidt, Transcendance de périodes : état des connaissances. Advances in Mathematics 1 no. 2 (2006). Proceedings of the 11th symposium of the Tunisian Mathematical Society held in Tunis, Tunisia – March 15-18, 2004.

[41] D. Zagier, Values of zeta functions and their applications. First European congress of Mathematics, Vol.2, Birkhauser, Basel, 1994, pp.497–512. | MR | Zbl

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