Les nombres de Lucas et Lehmer sans diviseur primitif
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 2, pp. 299-313.

Y. Bilu, G. Hanrot et P.M. Voutier ont montré que pour toute paire de Lucas ou de Lehmer (α,β) et pour tout n>30, les entiers, dits nombres de Lucas (ou de Lehmer) u n (α,β) admettaient un diviseur primitif. L’objet de ce papier est de compléter la liste des nombres de Lucas et de Lehmer défectueux donnée par P.M. Voutier, afin d’en avoir une liste exhaustive.

Y. Bilu, G. Hanrot et P.M. Voutier showed that for any Lucas or Lehmer’s pair (α,β) and for all n>30, rational integers u n (α,β), said Lucas or Lehmer numbers had a primitive divisor. The purpose of this paper is to complete the list of defective Lucas or Lehmer’s numbers given by P.M. Voutier, so that we have an exhaustive list.

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Abouzaid, Mourad. Les nombres de Lucas et Lehmer sans diviseur primitif. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 2, pp. 299-313. doi : 10.5802/jtnb.545. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.545/

[1] Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers. J. reine angew. Math. 539 (2001), 75–122. | MR 1863855 | Zbl 0995.11010

[2] P.D. Carmichael, On the numerical factors of the arithmetic forms α n ±β n . Ann. Math. (2) 15 (1913), 30–70. | MR 1502458

[3] L. K. Durst, Exceptional real Lehmer sequences. Pacific J. Math. 9 (1959), 437–41. | MR 108465 | Zbl 0091.04204

[4] D. H. Lehmer, An extended theory of Lucas’ functions. Ann. of Math. (2) 31 (1930), 419–48. | MR 1502953

[5] E. Lucas, Sur les rapports qui existent entre la théorie des nombres et le calcul intergal. C. R. Acad. Sci. Paris 82 (1876), 1303–5.

[6] E. Lucas, Théorie des fonctions numériques simplement périodiques. Amer. J. Math. 1 (1878), 184–240, 289–321. | MR 1505176

[7] A. Schinzel, The intrinsic divisors of Lehmer numbers I. Acta Arith. 8 (1963), 213–23. | MR 151423 | Zbl 0118.27901

[8] C. Stewart, On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer numbers. Proc. London Math. Soc. (3) 35 (1997), 425–447. | MR 491445 | Zbl 0389.10014

[9] P.M. Voutier, Primitive divisors of Lucas ans Lehmer sequences. Math. Comp. 64 (1995), 869–888. | MR 1284673 | Zbl 0832.11009

[10] M. Ward, The intrinsic divisors of Lehmer numbers. Ann. of Math. (2) 62 (1955), 230–36. | MR 71446 | Zbl 0065.27102

[11] K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste. Moantsh. Math. 3 (1892), 265–284. | JFM 24.0176.02 | MR 1546236