On the flat cohomology of binary norm forms

Bitan, Rony A.; Schein, Michael M.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 31 (2019) no. 3, pp. 527-553.

Let $𝒪$ be an order of index $m$ in the maximal order of a quadratic number field $k=\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$. Let ${\underline{\mathrm{O}}}_{d,m}$ be the orthogonal $\mathbb{Z}$-group of the associated norm form $q_{d,m}$. We describe the structure of the pointed set $H_{\mathrm{fl}}^1(\mathbb{Z},{\underline{\mathrm{O}}}_{d,m})$, which classifies quadratic forms isomorphic (properly or improperly) to $q_{d,m}$ in the flat topology. Gauss classified quadratic forms of fundamental discriminant and showed that the composition of any binary $\mathbb{Z}$-form of discriminant ${\Delta }_k$ with itself belongs to the principal genus. Using cohomological language, we extend these results to forms of certain non-fundamental discriminants.

Soit $𝒪$ un ordre d’indice $m$ dans l’ordre maximal d’un corps de nombres quadratique $k=\mathbb{Q}\left(\sqrt{d}\right)$. Soit ${\underline{\mathrm{O}}}_{d,m}$ le $\mathbb{Z}$-groupe orthogonal de la forme norme associée $q_{d,m}$. Nous décrivons la structure de l’ensemble pointé $H_{\mathrm{fl}}^1(\mathbb{Z},{\underline{\mathrm{O}}}_{d,m})$, qui classifie les formes quadratiques isomorphes à $q_{d,m}$ pour la topologie plate. Gauss a classifié les formes quadratiques de discriminant fondamental et montré que la composée d’une $\mathbb{Z}$-forme de discriminant ${\Delta }_k$ avec elle-même est dans le genre principal. En utilisant le langage cohomologique, nous étendons ces résultats aux formes de certains discriminants non fondamentaux.

Classification: 11E41, 11E72, 11E12
Keywords: flat cohomology, quadratic forms, quadratic orders

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