Pseudorandomness of the Ostrowski sum-of-digits function
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 2, pp. 637-649.

For an irrational $\alpha \in \left(0,1\right)$, we investigate the Ostrowski sum-of-digits function ${\sigma }_{\alpha }$. For $\alpha$ having bounded partial quotients and $\vartheta \in ℝ\setminus ℤ$, we prove that the function $g:n↦\mathrm{e}\left(\vartheta {\sigma }_{\alpha }\left(n\right)\right)$, where $\mathrm{e}\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2\pi ix}$, is pseudorandom in the following sense: for all $r\in ℕ$ the limit

 ${\gamma }_{r}=\underset{N\to \infty }{lim}\frac{1}{N}\sum _{0\le n

exists and we have

 $\underset{R\to \infty }{lim}\frac{1}{R}\sum _{0\le r

Pour un nombre irrationnel $\alpha \in \left(0,1\right)$, nous étudions la fonction somme des chiffres d’Ostrowski ${\sigma }_{\alpha }$. Étant donné un nombre $\alpha$ à quotients partiels bornés et un nombre $\vartheta \in ℝ\setminus ℤ$, nous montrons que la fonction $g:n↦\mathrm{e}\left(\vartheta {\sigma }_{\alpha }\left(n\right)\right)$, où $\mathrm{e}\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2\pi ix}$, est pseudo-aléatoire dans le sens suivant : pour tout $r\in ℕ$ la limite

 ${\gamma }_{r}=\underset{N\to \infty }{lim}\frac{1}{N}\sum _{0\le n

existe et on a

 $\underset{R\to \infty }{lim}\frac{1}{R}\sum _{0\le r

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DOI: 10.5802/jtnb.1042
Classification: 11A55, 11A67
Keywords: Ostrowski numeration, pseudorandomness, Fourier–Bohr spectrum
Spiegelhofer, Lukas 1

1 Institute of Discrete Mathematics and Geometry, Vienna University of Technology Wiedner Hauptstrasse 8–10 1040 Vienna, Austria
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Spiegelhofer, Lukas. Pseudorandomness of the Ostrowski sum-of-digits function. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 2, pp. 637-649. doi : 10.5802/jtnb.1042. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.1042/

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