Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity
[Homogénéisation de fonctionnelles intégrales faiblement coercives en élasticité linéaire tridimensionnelle]
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 483-514.

Dans cet article on étudie la Γ-convergence d’énergies intégrales faiblement coercives, de densité oscillante 𝕃(x/ε)v:v, en élasticité tridimensionnelle. Les énergies sont faiblement coercives du fait que la coercivité fonctionnelle classique satisfaite par le tenseur périodique 𝕃 :

3 𝕃(y)v:vdyΛ(𝕃) 3 |v| 2 dy,

pour toute fonction régulière v à support compact dans 3 , avec Λ(𝕃)>0, est remplacée par la condition relaxée Λ(𝕃)0. On montre que le tenseur homogénéisé 𝕃 0 reste fortement elliptique ou, de manière équivalente, Λ(𝕃 0 )>0, pour tout tenseur 𝕃=𝕃(y 1 ) vérifiant l’inégalité ponctuelle :

𝕃(y)M:M+D:Cof(M)0,p.p.y 3 ,M 3×3 ,

par l’addition d’un lagrangien nul pour une matrice D 3×3 donnée, et en supposant la coercivité fonctionnelle périodique Λ per (𝕃)>0 (obtenue avec des fonctions test v de gradient périodique). Cependant, on obtient une perte d’ellipticité du tenseur homogénéisé, fondée sur un résultat de Γ-convergence sous la seule hypothèse Λ(𝕃)0, et sur une lamination de rang 2.

This paper deals with the homogenization through Γ-convergence of weakly coercive integral energies, with the oscillating density 𝕃(x/ε)v:v, in three-dimensional elasticity. The energies are weakly coercive in the sense where the classical functional coercivity satisfied by the periodic tensor 𝕃:

3 𝕃(y)v:vdyΛ(𝕃) 3 |v| 2 dy,

for any smooth function v with compact support in 3 , with Λ(𝕃)>0, is replaced by the relaxed condition Λ(𝕃)0. We prove that the homogenized tensor 𝕃 0 remains strongly elliptic, or equivalently Λ(𝕃 0 )>0, for any tensor 𝕃=𝕃(y 1 ) satisfying the pointwise inequality:

𝕃(y)M:M+D:Cof(M)0,a.e.y 3 ,M 3×3 ,

adding a quadratic null-Lagrangian for some matrix D 3×3 , and assuming the periodic functional coercivity Λ per (𝕃)>0 (using smooth test functions v with periodic gradients). However, we derive rigorously the loss of strong ellipticity for the homogenized tensor, which is based on a Γ-convergence result under the sole assumption Λ(𝕃)0, and on a rank-two lamination.

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DOI : 10.5802/jep.49
Classification : 35B27, 74B05, 74Q15
Keywords: Linear elasticity, ellipticity, homogenization, $\Gamma $-convergence, lamination
Mot clés : Élasticité linéaire, ellipticité, homogénéisation, $\Gamma $-convergence, lamination
Briane, Marc 1 ; Pallares Martín, Antonio Jesús 2

1 IRMAR & INSA Rennes 20 avenue des Buttes de Coësmes, 35708 Rennes Cedex 7, France
2 Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla Apartado 1160, 41080 Sevilla
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Briane, Marc; Pallares Martín, Antonio Jesús. Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 483-514. doi : 10.5802/jep.49. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.49/

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