Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs
Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 331-342.

Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si GGL n () est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien π 1 (X), il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse X ' .

Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental d’une variété kählérienne compacte est aussi celui d’une variété projective complexe lisse.

In this note we establish the following result, announced in [CCE13]: if GGL n () is the image of a linear representation of a Kähler group π 1 (X), then it has a subgroup of finite index which is the image of a linear representation of the fundamental group of some smooth complex projective variety X ' .

This result provides thus, for linear representations, the solution (up to finite index) of a usual question asking if the fundamental group of a compact Kähler manifold X is also that of a smooth complex projective variety.

DOI : https://doi.org/10.5802/jep.12
Classification : 32Q15,  32Q55,  32G05,  14D07
Mots clés : Groupes kählériens, problème de Kodaira, famille lisse de tores complexes, déformations relatives
@article{JEP_2014__1__331_0,
     author = {Campana, Fr\'ederic and Claudon, Beno{\^\i}t and Eyssidieux, Philippe},
     title = {Repr\'esentations lin\'eaires des groupes k\"ahl\'eriens et de leurs analogues projectifs},
     journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
     pages = {331--342},
     publisher = {Ecole polytechnique},
     volume = {1},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/jep.12},
     zbl = {1312.32012},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.12/}
}
TY  - JOUR
AU  - Campana, Fréderic
AU  - Claudon, Benoît
AU  - Eyssidieux, Philippe
TI  - Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs
JO  - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques
PY  - 2014
DA  - 2014///
SP  - 331
EP  - 342
VL  - 1
PB  - Ecole polytechnique
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.12/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1312.32012
UR  - https://doi.org/10.5802/jep.12
DO  - 10.5802/jep.12
LA  - fr
ID  - JEP_2014__1__331_0
ER  - 
Campana, Fréderic; Claudon, Benoît; Eyssidieux, Philippe. Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 331-342. doi : 10.5802/jep.12. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.12/

[Ara11] Arapura, D. Homomorphisms between Kähler groups, Topology of algebraic varieties and singularities (Contemp. Math.), Volume 538, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, pp. 95-111 | Article | MR 2777817 | Zbl 1221.32007

[BL04] Birkenhake, C.; Lange, H. Complex abelian varieties, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 302, Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xii+635 | Article | MR 2062673 | Zbl 0779.14012

[BR11] Baues, O.; Riesterer, J. Virtually abelian Kähler and projective groups, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 81 (2011) no. 2, pp. 191-213 | Article | MR 2836631 | Zbl 1254.32029

[Buc06] Buchdahl, N. Algebraic deformations of compact Kähler surfaces, Math. Z., Volume 253 (2006) no. 3, pp. 453-459 | Article | MR 2221080 | Zbl 1118.32016

[Buc08] Buchdahl, N. Algebraic deformations of compact Kähler surfaces. II, Math. Z., Volume 258 (2008) no. 3, pp. 493-498 | Article | MR 2369040 | Zbl 1132.32007

[Cam06] Campana, F. Isotrivialité de certaines familles kählériennes de variétés non projectives, Math. Z., Volume 252 (2006) no. 1, pp. 147-156 | Article | MR 2209156 | Zbl 1104.32008

[Cam81] Campana, F. Coréduction algébrique d’un espace analytique faiblement kählérien compact, Invent. Math., Volume 63 (1981) no. 2, pp. 187-223 | Article | MR 610537 | Zbl 0436.32024

[CCE13] Campana, F.; Claudon, B.; Eyssidieux, Ph. Représentations linéaires des groupes kählériens : factorisations et conjecture de Shafarevich linéaire (2013) (arXiv :1302.5016)

[Cla10] Claudon, B. Invariance de la Γ-dimension pour certaines familles kählériennes de dimension 3, Math. Z., Volume 266 (2010) no. 2, pp. 265-284 | Article | MR 2678627 | Zbl 1197.32009

[Del68] Deligne, P. Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1968) no. 35, pp. 259-278 | Numdam | MR 244265 | Zbl 0159.22501

[Nak91] Nakayama, N. Compact Kähler manifolds whose universal covering spaces are biholomorphic to n (1991) (preprint RIMS no 1230, citeseerx)

[Ser06] Sernesi, E. Deformations of algebraic schemes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 334, Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. xii+339 | MR 2247603 | Zbl 1102.14001

[Var84] Varouchas, J. Stabilité de la classe des variétés kählériennes par certains morphismes propres, Invent. Math., Volume 77 (1984) no. 1, pp. 117-127 | Article | MR 751134 | Zbl 0529.53049

[Voi02] Voisin, C. Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Cours Spécialisés, 10, Société Mathématique de France, Paris, 2002, pp. viii+595 | Article | MR 1988456 | Zbl 1032.14001

[Voi04] Voisin, C. On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds, Invent. Math., Volume 157 (2004) no. 2, pp. 329-343 | Article | MR 2076925 | Zbl 1065.32010

[Voi05] Voisin, C. Recent progresses in Kähler and complex algebraic geometry, European Congress of Mathematics, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005, pp. 787-807 | MR 2185782 | Zbl 1089.32012

[Voi06] Voisin, C. On the homotopy types of Kähler manifolds and the birational Kodaira problem, J. Differential Geom., Volume 72 (2006) no. 1, pp. 43-71 http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143593125 | MR 2215455 | Zbl 1102.32008

[Voi11] Voisin, C. Chow rings, decomposition of the diagonal and the topology of families (2011) (Notes pour les Leçons Hermann Weyl, disponible sur la page http://www.math.polytechnique.fr/~voisin)

Cité par Sources :