We study the statistical properties of the solutions of the Kadomstev-Petviashvili equations (KP-I and KP-II) on the torus when the initial datum is a random variable. We give ourselves a random variable with values in the Sobolev space with big enough such that its Fourier coefficients are independent from each other. We assume that the laws of these Fourier coefficients are invariant under multiplication by for all . We investigate about the persistence of the decorrelation between the Fourier coefficients of the solutions of KP-I or KP-II with initial datum in the sense that we estimate the expectations in function of time and the size of the initial datum. These estimates are sensitive to the presence or not of resonances in the three waves interaction, that is, denoting the dispersion relation, whether can be null (resonant model, KP-I) or not (non-resonant model, KP-II). In the case of a resonant equation, the expectations remain small up to times of order whereas in the case of a non-resonant equation, they do up to times of order . The techniques used are different depending on the cases, we use Gronwall lemma and Gaussian large deviation estimates for the resonant case, and the normal form structure of KP-II in the other one.
On étudie les propriétés statistiques des solutions des équations de Kadomstev-Petviashvili (KP-I et KP-II) sur le tore lorsque la condition initiale est une variable aléatoire. On se donne une variable aléatoire à valeurs dans un espace de Sobolev de régularité suffisamment importante telle que ses coefficients de Fourier soient indépendants. On suppose également que les lois de ces coefficients sont invariantes par multiplication par pour tout . On s’intéresse alors à la persistance des décorrélations des coefficients de Fourier des solutions de KP-I et KP-II ayant pour condition initiale au sens où l’on estime l’espérance en fonction du temps et de la taille de la donnée initiale. Ces estimées sont sensibles à la présence ou l’absence de résonance au sein des interactions à trois ondes, c’est-à-dire, en notant la relation de dispersion de KP-I ou KP-II, à si s’anulle (modèle résonnant, KP-I) ou non (modèle non résonnant, KP-II). Dand le cas de l’équation résonante, les espérances restent petites jusqu’aux temps d’ordres alors que dans le cas de l’équation non-résonante, elles le restent jusqu’aux temps d’ordre . Les techniques sont différentes en fonction du cas considéré, on utilise le lemme de Gronwall et des estimées de large déviation gaussiennes dans le cas résonant, et la structure de forme normale de KP-II dans l’autre.
Keywords: Wave turbulence, statistical equilibrium, random initial datum
Mot clés : Turbulence, équilibre statistique, variable initiale aléatoire
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de Suzzoni, Anne-Sophie. On the persistence of decorrelation in the theory of wave turbulence. Journées équations aux dérivées partielles (2013), article no. 3, 15 p. doi : 10.5802/jedp.99. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jedp.99/
[1] A.-S. de Suzzoni and N. Tzvetkov, On the propagation of weakly nonlinear random dispersive waves, Arch. Ration. Mech. Anal., 212, (2014), 849–874
[2] Anne-Sophie de Suzzoni, On the use of normal forms in the propagation of random waves, ArXiv e-prints (2013).
[3] Jean-Marc Delort, Existence globale et comportement asymptotique pour l’équation de Klein-Gordon quasi linéaire à données petites en dimension 1, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34 (2001), no. 1, 1–61. | Numdam | MR | Zbl
[4] B. B. Kadomtsev and V. I. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly dispersive media, Sov. Phys. Dokl. 15 (1970), 539-541. | Zbl
[5] A. J. Majda, D. W. McLaughlin, and E. G. Tabak, A one-dimensional model for dispersive wave turbulence, J. Nonlinear Sci. 7 (1997), no. 1, 9–44. | MR | Zbl
[6] Jalal Shatah, Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations, Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985), no. 5, 685–696. | MR | Zbl
[7] N. Tzvetkov, Long time bounds for the periodic KP-II equation, Int. Math. Res. Not. (2004), no. 46, 2485–2496. | MR | Zbl
[8] V.E. Zakharov and N.N. Filonenko, Weak turbulence of capillary waves, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 8 (1967), no. 5, 37–40.
[9] Vladimir Zakharov, Frédéric Dias, and Andrei Pushkarev, One-dimensional wave turbulence, Phys. Rep. 398 (2004), no. 1, 1–65. | MR
Cited by Sources: