Annulation du groupe des -classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 15-32.

Let be an odd prime number. Let K be a real abelian extension of Q with a degree prime to and let G be the Galois group of K/Q; Let ϕ (ϕ1) be an irreducible -adic character of K. Let M be the maximal abelian -extension of K unramified outside and let 𝒜 be the Z [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (the ϕ-component of 𝒜) is a finite module over the ring of integers Z ψ of Q ψ (field generated over Q by the values of a character ψ of degree 1 dividing ϕ). We construct explicitely, for all n0, an element 𝒮 n in Z ψ which annihilates the module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕ n+1 . We then show that the sequence 𝒮 n has a -adic limit (which annihilates 𝒜 ϕ ) and that this limit is the number L (1,ψ ) (value at “s=1” of the -adic L function of the character ψ ).

Soit un nombre premier impair. Soit K une extension abélienne réelle de Q de degré premier à et soit G son groupe de Galois; soit ϕ (ϕ1) un caractère -adique irréductible de K. Soit M la -extension abélienne maximale de K non ramifiée en dehors de et soit 𝒜 le Z [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (la ϕ-composante de 𝒜) est un module fini sur l’anneau des entiers Z ψ de Q ψ (corps des valeurs sur Q d’un caractère ψ de degré 1 divisant ϕ). On construit explicitement pour tout n0 un élément 𝒮 n de Z ψ qui annule le module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕ n+1 . On montre ensuite que la suite des 𝒮 n a une limite -adique (qui annule 𝒜 ϕ ) et que cette limite est le nombre L (1,ψ ) (valeur en “s=1” de la fonction L -adique relative au caractère ψ ).

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Gras, Georges. Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 15-32. doi : 10.5802/aif.725. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.725/

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Cited by Sources: