Estimations pour $\overline{\partial }$ dans des domaines non pseudo-convexes

Nous étudions les domaines $\Omega$ de ${\mathbf{C}}^n$ qui satisfont (localement) à l’estimation suivante :

$$\sum _{i,k=1}^n\parallel \frac{\partial u_j}{\partial {\overline{z}}_k}\parallel \le C(\parallel \overline{\partial }u\parallel +\parallel {\overline{\partial }}^{*}u\parallel +\parallel u\parallel ),\forall u\in {𝒟}^{0,1}(V\cap \overline{\Omega })$$

où $V$ est un voisinage d’un point $z_0$ du bord $\partial \Omega$.

L’intérêt de cette estimation réside dans son utilisation pour montrer une estimation sous-elliptique. Remarquons qu’elle est toujours satisfaite par les domaines pseudo-convexes, ce qui rend naturel le fait qu’elle soit liée au comportement dans $V$ des parties négatives des valeurs propres de la forme de Levi.

We study the domains in ${\mathbf{C}}^n$, $\Omega$, which satisfy (locally) the following estimate:

$$\sum _{i,k=1}^n\parallel \frac{\partial u_j}{\partial {\overline{z}}_k}\parallel \le C(\parallel \overline{\partial }u\parallel +\parallel {\overline{\partial }}^{*}u\parallel +\parallel u\parallel ),\forall u\in {𝒟}^{0,1}(V\cap \overline{\Omega })$$

where $V$ is a neighborhood of a point $z_0$ in the boundary $\partial \Omega$.

The interest of this estimate is that it is used for proving subelliptic estimates. Remark that it is always satisfied by pseudoconvex domains so it is naturally related to the behavior in $V$ of the negative parts of the eigenvalues of the Levi form.

[1] Th. Bloom and I. Graham, A geometric characterization of points of type m on real hypersurfaces, J. Diff. Geom., in Press.

[2] M. Derridj, Régularité pour ∂ dans quelques domaines faiblement pseudo-convexes, J. Diff. Geom., in Press. | Zbl 0435.35057

[3] M. Derridj and D. Tartakoff, Séminaire d'Analyse (P. Lelong), Année 1976, Springer Verlag, n° 578.

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[7] L. Hormander, Hypoelliptic second order differential equations, Acta Math., 119 (1967). | MR 36 #5526 | Zbl 0156.10701

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[10] J. J. Kohn, Pseudo-differential operators and non elliptic problems, C.I.M.E., Stresa (1968).