étant une suite de nombres complexes , on désigne par (resp. l’ensemble des fonctions (resp. ) définies sur un segment (resp. sur un compact du plan complexe) et uniformément approchables sur (resp. sur ) par des combinaisons linéaires . On désigne par l’ensemble des fonctions continues) sur la droite dont les restrictions à tout segment appartiennent à , par l’ensemble des fonctions (holomorphes) sur un ouvert du plan complexe dont les restrictions à tout compact appartiennent à .
Le chapitre I débute par un exposé rapide des principales propriétés de , à partir des “transformées de Fourier-Carleman” des fonctions moyenne-périodiques de L. Schwartz. Il est ensuite consacré aux problèmes de l’unicité d’une fonction de définie par ses valeurs sur un segment (1), ou par ses valeurs approchées au voisinage d’un point (2), ou par les valeurs de ses dérivées successives en un point (3), et du prolongement d’une fonction de en une fonction de (4). Chacun de ces problèmes est justiciable de différentes méthodes, qui fournissent des résultats faisant intervenir diverses fonctions, ou quantités, attachées à . Ainsi, dans la solution du problème (1) intervient la densité minimum de , tandis que dans les solutions données au problème (4) interviennent la densité maximum et la “densité de répartition”. Les solutions aux problèmes (2) et (3) font intervenir la rareté, ou la lacunarité de , soit dans le plan, soit sur la droite réelle, soit sur une demi-droite. À titre d’exemple, voici un résultat obtenu : pour que les relations , , entraînent , il suffit que ; si est assez rare, cette condition est nécessaire.
Au début du chapitre II sont examinés quelques problèmes généraux concernant ; par exemple, la recherche des conditions nécessaires et de conditions suffisantes pour que contienne toutes les fonctions holomorphes dans . L’essentiel du chapitre traite du problème de prolongement suivant : et étant donnés, trouver un ouvert tel que toute fonction de soit prolongeable en une fonction de ; un principe de prolongement très simple permet, en résolvant ce problème, d’obtenir très rapidement des indications sur les singularités des séries de Dirichlet, des fonctions presque-périodiques, des fonctions moyenne-périodiques analytiques. Les résultats font en général intervenir soit la densité maximum, soit la densité moyenne supérieure de . Exemple : si est symétrique réelle, et a pour densité maximum , si est connexe et contient un segment , toute fonction de est prolongeable dans une bande verticale en une fonction presque périodique) de , chaque segment de longueur porté par la frontière de contenant au moins un point singulier.
Les problèmes examinés au chapitre III sont, a priori, très différents des précédents. D’une part sont étudiées les questions de la théorie des fonctions d’une variable complexe auxquelles mènent les méthodes employées au chapitre I : extension d’un théorème de Mandelbrojt. Mac Lane sur les fonctions holomorphes dans une bande ; relation entre la croissance du module et la répartition des zéros et des pôles d’une fonction holomorphe dans un demi-plan. D’autre part, les techniques introduites sont appliquées à quelques problèmes d’approximation et d’unicité dans le champ réel (problèmes généralisés des moments, de l’approximation polynomiale, de la quasi-analyticité) ; les résultats, difficiles à exprimer sont proches de ceux obtenus par M. Mandelbrojt à l’aide de son inégalité fondamentale. Ce chapitre se termine avec la définition de nouvelles classes quasi-analytiques, en réponse à un problème qui généralise le problème (3) du chapitre I.
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Kahane, Jean-Pierre. Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles. Annales de l'Institut Fourier, Volume 5 (1954), pp. 39-130. doi : 10.5802/aif.52. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.52/
[1] Sur deux théorèmes de M. S. Mandelbrojt, C. R. Ac. Sc., 228 (1949), pp. 1835-1837. | MR | Zbl
:[2] Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933. | JFM | Zbl
:[3] Sur une classe de fonctions presque-périodiques, C. R. Ac. Sc., 225 (1947), pp. 326-328.
:[4] On a generalization of the Stieltjes moment problem, Trans. Amer. Math. Soc., 46 (1939), pp. 142-150. | JFM | MR | Zbl
:[5] L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent, Uppsala, 1944. | Zbl
:[6] Sur les systèmes de fonctions holomorphes..., Annales E. N. S., 45 (1928), pp. 255-346. | JFM | Numdam
:[7] On derivative and translational bases for periodic functions, Proc. Amer. Math. Soc., 2 (1951), pp. 644-653. | MR | Zbl
:[7 bis] A generalization of Carlson's theorem, J. London Math. Soc., 21 (1946), pp. 106-110. | MR | Zbl
:[8] On a generalization of the Stieltjes moment problem, Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), pp. 1057-1059. | MR | Zbl
:[9] Note on a result of Levine and Lifschitz, Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), pp. 390-393. | MR | Zbl
et :[10] Extension du théorème de Carlson et applications, C. R. Ac. Sc., 234 (1952), pp. 2038-2040. | MR | Zbl
:[11] Quasi-analyticité des fonctions moyenne-périodiques, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 569-571. | MR | Zbl
:[12] Quasi-analyticité des fonctions sommes de séries de Fourier lacunaires, C. R. Ac. Sc., 230 (1950), pp. 2250-2252. | MR | Zbl
et :[13] Classes de fonctions indéfiniment dérivables, sommes de séries de Fourier lacunaires, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 887-889. | MR | Zbl
:[14] Classes de fonctions indéfiniment dérivables presque-périodiques de spectre donné, C. R. Ac. Sc., 236 (1953), pp. 2473-2474. | MR | Zbl
:[15] Séries de polynômes de Dirichlet et leurs généralisations (en russe), Troudi de l'Inst. Steklov, 39, Moscou, 1951. | Zbl
:[16] Fonctions de degré fini, bornées sur une suite de points, (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 65 (1949), p. 265.
:[17] Sur les fonctions définies par leurs valeurs sur un certain intervalle (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 70 (1949), pp. 757-60.
:[18] Sur la quasi-analyticité des classes de fonctions presque-périodiques (en russe), Dokladi A. N.-S.S.S.R., 70 (1950), pp. 949-952.
:[19] Quasi-analyticité des classes de fonctions représentables par des séries de Fourier (en russe) Mat. Sbornik, 9, 3 (1941), pp. 694-709. | Zbl
et :[20] Gap and density theorems, Colloquium, New-York, 1940. | JFM | Zbl
:[21] Sur les fonctions entières d'ordre entier, Annales E. N. S., 22 (1905), pp. 369-395. | EuDML | JFM | Numdam
:[22] Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, Gauthier-Villars, Paris, 1935. | JFM | Zbl
:[23] Dirichlet Series, The Rice Institute Pamphlet, 1944. | MR | Zbl
:[24] Théorèmes d'unicité, Annales E. N. S., 65 (1948), pp. 101-138. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
:[25] Séries adhérentes. Régularisation des suites. Applications. Gauthier-Villars, Paris, 1952. | MR | Zbl
:[26] Un théorème de fermeture, C. R. Ac. Sc., 231 (1950), pp. 16-18. | MR | Zbl
:[27] Théorèmes généraux de fermeture, Journal d'analyse mathématique, Jérusalem, 1 (1951), pp. 180-208. | MR | Zbl
:[28] Quelques nouveaux théorèmes de fermeture, Ann. Soc. Polon. Math., 25 (1952), pp. 241-251. | MR | Zbl
:[29] On functions holomorphic in a strip region, and an extension of Watson's problem, Trans. Amer. Math. Soc., 61 (1947), p. 454. | MR | Zbl
et :[29 bis] On a generalization of the problem of quasi-analyticity, Trans. Amer. Math. Soc., 52 (1942) pp. 265-282. | MR | Zbl
et :[29 ter] Leçons sur les séries de polynômes, Gauthier-Villars, Paris, 1910. | JFM
:[30] Fourier transforms in the complex domain, Colloquium, New-York, 1934. | JFM | Zbl
et :[31] Eine Verallgemeinerung der Fabryschen Lückensatzes. Göttinger Nachr., 1927, pp. 187-195. | EuDML | JFM
:[31 bis] Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen, Math. Zeitschrift, 29 (1929), pp. 549-624. | EuDML | JFM
:[32] On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients, Trans. Amer. Math. Soc., 18 (1917), pp. 27-49. | JFM
:[33] Approximation d'une fonction quelconque par des sommes d'exponentionnelles imaginaires, Ann. Toulouse 6 (1942) pp. 111-174. | EuDML | Numdam | MR | Zbl
:[34] Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Annals of Math. 48 (1947), pp. 857-929. | MR | Zbl
:[35] Sur les solutions des équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre infini, Annales E. N. S., 46 (1929). pp. 26-53. | EuDML | JFM | Numdam
:Cited by Sources: