Holomorphic functions on locally convex topological vector spaces. I. Locally convex topologies on (U)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 1, pp. 19-54.

This article is devoted to a study of locally convex topologies on H(U) (where U is an open subset of the locally convex topological vector space E and H(U) is the set of all complex valued holomorphic functions on E). We discuss the following topologies on H(U):

(a) the compact open topology I 0 ,

(b) the bornological topology associated with I 0 ,

(c) the ported topology of Nachbin I ω ,

(d) the bornological topology associated with I ω  ; and

(e) the I ω topological of Nachbin.

For U balanced we show these topologies are related to various kinds of convergence of the Taylor series at o. This in turn allows us to obtain criterion for equality of different topologies on H(U) and to construct counterexamples when we do not have equality.

Ce travail est consacré à l’étude des topologies localement convexes sur H(U) (lorsque U est un sous-ensemble d’un espace vectoriel topologique localement convexe, E, et H(U) est l’ensemble des fonctions analytiques sur U). Nous discuterons les topologies suivantes sur H(U) :

(a) la topologie de la convergence compacte, I o  ;

(b) la topologie bornologique associée avec I o  ;

(c) la topologie engendrée par les semi-normes portables par un compact, de U, I ω  ;

(d) la topologie bornologique associée avec I ω  ; et

(e) la I ω topologie de Nachbin.

Pour U balancé nous démontrerons que ces topologies ont rapport avec quelques espaces de convergence de la série de Taylor en o. Cette démonstration nous permet d’obtenir un critère pour l’égalité des topologies diverses sur I(u), et de construire des contre-exemples si l’égalité n’existe pas.

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